Question

sabendo que A e B são subconjuntos de U, A(–) = {e,f,g,h,i} , A inter B = {c,d} A U B = {a,b,c,d,e,f} responda
Quantos elementos tem A e B?
Observação: A(–) é o complementar de A em U.​

Answer 1

Há quatro elementos nos conjuntos A e B.

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São dados dois conjuntos A e B que estão contidos em U. Além disso, são dadas as seguintes informações:

• $\mathsf{\bar{A} = \{ e, f, g, h, i \}}$ (complementar de A em relação a U)
• $\mathsf{A \cap B = \{c, d \}}$
• $\mathsf{A \cup B = \{a, b, c, d, e, f \}}$

Pede-se o número de elementos de A e B.

Primeiro, vamos relembrar algumas definições:

1. $\mathsf{\bar{A} = \{ x \mid x \in U \text{ e } x \notin A\}}$
2. $\mathsf{A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}}$
3. $\mathsf{A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B \}}$

Da terceira definição, vemos que os conjuntos A e B têm no máximo 6 elementos. Porém, existem dois elementos que são comuns aos dois conjuntos a saber, os elementos c e d. Pelo conjunto complementar, nota-se que os elementos e e f não pertencem ao conjunto A e como eles estão no conjunto união, então eles pertencem ao conjunto B. Como os elementos c e d pertencem à interseção entre A e B, então eles também pertencem ao conjunto B. Dessa forma, o conjunto B é o seguinte:

$\mathsf{B = \{c, d, e, f \}}$

Os elementos a e b não pertecem ao conjunto B e estão no conjunto união, então eles pertencem ao conjunto A. Como os elementos c e d pertencem à interseção entre A e B, então eles também pertencem ao conjunto A.

O conjunto A é, portanto, o seguinte:

$\mathsf{B = \{a, b, c, d\}}$

Logo, há quatro elementos nos conjuntos A e B.