Question

Sabendo que a é a aresta da base da pirâmide e L é a aresta lateral da pirâmide, cujas medidas são, respectivamente, a=6 cm e L=3√11 cm, as medidas da área total da superfície e do volume desta pirâmide são, respectivamente:

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:

c. $36 ( 1 + \sqrt{10} ) cm^{2}$ e $108cm^{3}$

Explicação passo-a-passo:

Primeiros vamos calcular o volume, que de uma pirâmide regular é dado pela fórmula $V=\frac{a^{2}*h}{3}$ sendo $a$ o lado da base e $h$ a altura da pirâmide, como mostra a figura.

Segundo o enunciado $a=6$, então precisamos descobrir o $h$:

Com base no desenho da pirâmide no enunciado, temos que $h$ é um cateto do triângulo retângulo que possue $ap$ como outro cateto e $Ap$ como hipotenusa, logo:

$Ap^{2} = ap^{2} + h^{2} \\h^{2} = Ap^{2} - ap^{2}$

Sabemos que

$ap = \frac{a}{2} \\ap = \frac{6}{2} \\ap = 3$

Precisamos calcular $Ap$, como também dá para notar $Ap$ é cateto do triângulo que também possue como cateto $ap$ e $L$ como hipotenusa, $L$ é a aresta lateral da pirâmide, como indica o enunciado, logo temos:

$L^{2} = Ap^{2} + ap^{2} \\Ap^{2} = L^{2} - ap^{2}  \\Ap^{2} = (3\sqrt{11})^{2} - 3^{2} \\Ap^{2} = 9*11 - 9 = 99 - 9 = 90\\Ap = \sqrt{90} = \sqrt{2*3*3*5} = 3\sqrt{10}$

Voltando para o calculo de $h$:

$h^{2} = (3\sqrt{10})^{2} - 3^{2} \\h^{2} = 9*10 - 9 = 90 - 9 = 81\\h = \sqrt{81} = 9$

Voltando para o cálculo do Volume:

$V=\frac{a^{2} * h}{3} = \frac{6^{2}*9 }{3} = \frac{36*9}{3} = \frac{324}{3} = 108cm^{3}$

Agora o cálculo da área de superfície, dada pela soma da área da base $a^{2}$ com as 4 áreas dos triângulos dadas pelas fórmulas $\frac{Ap*a}{2}$ ou $Ap*ap$, assim temos:

$A_{s} = a^{2} + 4*Ap*ap = 6^{2} + 4 * 3\sqrt{10} * 3 = 36 + 36\sqrt{10}\\A_{s} = 36 (1+\sqrt{10} )cm^{2}$