Question

Sabendo que a diferença entre 10 e o dobro de x é y, determine os valores de x e y para os quais o valor numérico da expressão √(x²+y²) é mínimo. (Lembre-se: a raiz citada no exercício pode ser vista como a distância da origem do Sistema Cartesiano a um ponto P(x,y) qualquer). *

Answer 1

Resposta:

x = 10 + 5√2

y = -10 - 10√2

Explicação passo-a-passo:

A primeira frase do enunciado diz o seguinte:

10 - 2x = y

Com isso, temos uma função que nos dá o valor de y em função do valor de x, substituindo essa relação na expressão √(x²+y²), temos:

√( x² + (10-2x)² ) =

= √( x² + 100 -40x + x² ) =

= √( 2x² -40x + 100)

Como ele pediu o menor valor numérico dessa expressão (ou seja, o menor número inteiro) e a expressão é uma raiz quadrada (portanto o que está dentro da raiz não pode ser negativo), temos:

√( 2x² -40x + 100) = 0

Elevando ambos os lados ao quadrado:

2x² -40x + 100 = 0

Por Bhaskara: x = (40 ± 20√2) / 4

x1 = 10 + 5√2 ; x2 = 10 - 5√2

Para x = x1:

y = 10 - 2(x1) = 10 - 20 - 10√2 = -10 - 10√2

Para x = x2:

y = 10 - 2(x2) = 10 - 20 + 10√2 = -10 + 10√2

Como pode-se ver, o menor y foi atingindo quando x = x1, portanto usaremos esses valores na resposta:

x = 10 + 5√2

y = -10 - 10√2