Question

sabendo que A =determine a soma dos elementos da matriz inversa de A

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dalva, que a resolução é simples, mas não deixa de ser trabalhosa porque envolve matrizes e, no caso, vai envolver multiplicação de matrizes.

i) Veja que se temos uma matriz A, para encontrar a sua inversa, multiplicaremos a matriz A pela sua inversa e igualaremos à matriz identidade da mesma ordem. Assim, teremos:

A*A⁻¹ = I ---- como a matriz A é de segunda ordem então a sua inversa e a matriz identidade também o serão. Assim, temos:

|1....0|*|a....b| = |1....0|

|3...2|*|c....d| = |0....1| ---- desenvolvendo o produto, temos:

|1*a+0*c.....1*b+0*d| = |1....0|

|3*a+2*c....3*b+2*d| = |0....1| --- continuando, temos:

|a+0............. b+0| = |1....0|

|3a+2c....3b+2d| = |0....1| ---- ou apenas:

|a.......................b| = |1....0|

|3a+2c....3b+2d| = |0....1| ----- veja que agora basta que igualemos cada elemento da primeira matriz a cada elemento correspondente na segunda matriz. Assim, temos que:

a = 1 <--- Este é o valor de "a".

b = 0 <--- Este é o valor de "b".

3a+2c = 0 ---- como a = 1, teremos: 3*1 + 2c = 0 --->3 + 2c = 0 ---> 2c = - 3 ----> c = -3/2 <--- Este é o valor de "c".

e, finalmente:

3b+2d = 1 -------- como b = 0, teremos: 3*0 + 2d = 1 ---> 0 + 2d = 1 ---> 2d = 1 ---> d = 1/2

Assim, como já temos que a = 1; que b = 0; que c = -3/2; e que d = 1/2 , então a matriz inversa será:

A⁻¹ = |1..............0|

.........|-3/2.....1/2|

ii) Como está sendo pedida a soma de todos os elementos de A⁻¹ teremos que (chamando essa soma de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa):

y = 1 + 0 + (-3/2) + 1/2 ---- ou apenas:

y = 1 - 3/2 + 1/2 ---- note que "-3/2+1/2 = -2/2 = -1". Logo, teremos:

y = 1 - 1

y = 0 <--- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, esta é a soma de todos os elementos da matriz inversa de A dada na sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.