Question

Sabendo que a carga elétrica Q de determinada particula é dada em função do tempo t, pela função: Q(t)=2t log(t) + sen(t) onde Q é dada em Coulombs e t em segundos. Qual a corrente elétrica dessa particula no instante t=3? (Considere a medida para angulo sendo o radiano)​

Answer 1

A corrente elétrica é o fluxo de carga elétrica através de um material condutor, devido ao deslocamento dos elétrons que orbitam o núcleo dos átomos que compõem o condutor.

De acordo com o Sistema Internacional (SI), esta intensidade é normalmente medida em Coulombs por segundo (C/s), o que equivale a um ampere (A), uma unidade básica no campo da eletricidade e de uso comum, que recebe sua nome do físico francês André-Marie Ampère.

Por definição a corrente elétrica é igual à taxa de variação da carga elétrica ao longo do tempo, matematicamente é representada como:

$\qquad\qquad \boxed{\sf i=\dfrac{dQ}{dt}}\qquad\qquad$

Ou seja, podemos aplicar o cálculo da derivada para encontrar a função da intensidade em relação à função da carga elétrica.

Em nosso problema queremos encontrar a corrente elétrica em um tempo de 3 segundos de uma certa partícula que é dada de acordo com a seguinte função que depende do tempo: Q(t)=2t log(t) + sen(t)

Para encontrar a corrente elétrica que passa em um tempo de 3 segundos de acordo com nossa função de carga elétrica, devemos primeiro encontrar a função de intensidade em relação ao tempo e para encontrar essa função teremos que derivar a função de carga elétrica, então a derivada que devemos resolver é:

$Q'(t)=\dfrac{d}{dt}\left(2 t ~\log (t) + \sin(t)\right)$

Para resolver esta derivada devemos aplicar certas regras na derivação, para começar vamos aplicar a regra da soma/diferença, esta regra pode ser representada pela expressão: $\sf (f\pm g)'=f' \pm g'$

Se aplicarmos esta regra de acordo com nossa derivada, obteremos a expressão:

$Q'(t)=\overbrace{\dfrac{d}{dt}2 t ~\log (t) }^{\rm (i)}+ \underbrace{\dfrac{d}{dt}\sin(t)}_{\rm (ii)}$

Podemos ver que obtivemos duas derivadas, cujos nomes eu atribuo como (i) e (ii), então para encontrar a derivada de toda a nossa função vamos tentar derivar (i) ou (ii) primeiro, no meu caso eu encontro da derivada (i).

Para encontrar a derivada de (i), primeiro vamos tirar a constante da nossa derivada, a constante é o número que multiplica a variável em relação à que estamos diferenciando.

$2\dfrac{d}{dt}\left( t ~\log (t)\vphantom{\dfrac{}{}} \right)~\quad \rm{(i)}$

Essa derivada será um pouco simples, pois como temos um produto de variáveis podemos aplicar a regra do produto, a regra do produto é representada pela expressão: $\sf (f\cdot g)' = f'\cdot g + f \cdot g'$

Então temos que:

$2\dfrac{d}{dt}\left( t ~log (t)\vphantom{\dfrac{}{}} \right)~\quad \rm{(i)}\\\\\\ 2\left(\dfrac{d}{dt}t ~\log (t) +t\dfrac{ d}{dt}\log (t)\right)$

Temos duas derivadas fundamentais, estas são a derivada de apenas uma variável sem elevar a nenhum e a derivada do logaritmo, para resolver essas duas derivadas realizaremos as seguintes duas expressões que representam a derivada de cada uma:

$\begin{cases}\dfrac{d}{dx} x = 1\\\\\dfrac{d}{dx} \log _ a (x)=\dfrac{1}{x\ln (a)}\end{cases}$

Então aplicando essas duas expressões concluímos que a derivada de (i) será igual a:

$2\left(1\cdot\log (t) +t\cdot \dfrac{1}{t\ln(10)}\right)\qquad\rm{(i)}\\\\ 2\left(\log (t) +\dfrac{\not\!t}{\not\!t\ln(10)}\right)\\\\ 2\left(\log (t) +\dfrac{1}{\ln(10)}\right)$

Agora encontramos a derivada de (ii), a derivada de (ii) é uma derivada fundamental, pois a derivada do seno é igual a: $\sf\dfrac{d}{dx} \sin(x)=\cos(x)$

• Então temos que a derivada de (ii) será igual a:

$\dfrac{d}{dt}\sin(t) =\cos(t) ~\quad \rm{(ii)}$

Então a corrente elétrica desta partícula é igual à seguinte função de tempo:

$I(t)= 2\left(\log (t)+\dfrac{1}{\ln(10}\right)+\cos(t)\\\\\\\\ I(t)= 2\log (t)+\dfrac{2}{\ln(10)}+\cos(t)$

Encontramos a corrente elétrica ou intensidade que passa em 3 segundos:

$I(3)= 2\log (3)+\dfrac{2}{\ln(10)}+\cos(3)\\\\\\\\ I(3)\approx 0{,}954+0{,}868- 0{,}989\\\\\\\\ \boxed{\sf I(3)\approx 0{,}833~A}\quad\longleftarrow\quad\mathsf {Resposta}$