Question

Sabendo que a, b e c são números reais e a < 0, qual é a imagem da função f(x) = ax² + bx + c?

Answer 1

Utilizando noções de função e vertice de parabola, temos nosso conjunto imagem:

$Img=[y\in\mathbb{R};y<\frac{4ac-b^2}{4a}]$

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte função:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Como a é negativo, então esta função é uma prabola voltada para baixo e a imagem de funções são todos os valores que uma função pode ter em y, e como ela é uma parabola voltada para baixo, ela possui um valor maximo que é o y do vertice, ou seja, a imagem desta função são todos os números abaixo do y do vertice, ou em linguagem matemativa : Img = {y e R / y < Yv}.

Então precisamos encontrar o y do vertice, que é dado pela formula:

$y_v=-\frac{\Delta}{4a}$

E substituindo o Delta:

$y_v=-\frac{b^2-4ac}{4a}$

$y_v=\frac{4ac-b^2}{4a}$

Então a imagem da nossa função é:

$Img=[y\in\mathbb{R};y<\frac{4ac-b^2}{4a}]$