Question

Sabendo que (√A−√B)2 > 0, mostre que a média aritmética de (A,B) é maior que a média geométrica de (A,B). (A e B são números positivos.)

Answer 1

Sabendo que:
$2(\sqrt{A}-\sqrt{B})>0$
e
A e B são positivos, ou seja,
A > 0 e B > 0
-----
$\sqrt{A}-\sqrt{B}>0$ Dividindo por 2
$\sqrt{A}>\sqrt{B}$
-----
A média aritmética é a soma das parcelas dividida pelo número de parcelas.
Média Aritmética(A,B)=$\frac{A+B}{2}$

---
A média geométrica de algumas parcelas é definida como o produto de todos os números elevados ao inverso do número de parcelas.
Média Geométrica(A,B)=$(A*B)^{\frac{1}{2}}$
----

Sabendo que $\sqrt{A}>\sqrt{B}$,
$\sqrt{A}\sqrt{B}>B$ Multiplicando por B, e sabendo que B>0
$\sqrt{A*B}>B$
${A*B}^{\frac{1}{2}}>B$
${A*B}^{\frac{1}{2}}-\frac{B}{2}+\frac{A}{2}>B-\frac{B}{2}+\frac{A}{2}$
${A*B}^{\frac{1}{2}}+\frac{A-B}{2}>\frac{A+B}{2}$   (i)

Como Média Geométrica = ${A*B}^{\frac{1}{2}}$ e Média Arimética = $\frac{A+B}{2}$, logo, substituindo na inequação (i),

Média Geométrica + $\frac{A-B}{2}$ > Média Arimética
Média Aritmética -Média Geométrica <$\frac{A-B}{2}$

Como M.A - M.G é menor que  um número positivo e ambas são números positivos , ou seja,
M.A > 0 e M.G > 0, pois A>0 e B>0, logo
 0<M.A - M.G<N° Positivo

Logo, Média Arimética é maior que a Média Geométrica, pois a 0<M.A - M.G<N° Positivo.