Question

Sabendo que a área de um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência, é de 18√3 cm², o perímetro do hexágono regular circunscrito a essa mesma circunferência é:

a) 2√6 cm
b) 4√2 cm
c) 3√6 cm
d) 12√2 cm
e) 24√2 cm

Answer 1

Vamos primeiro entender o problema que é o x da questão. A gente tem uma circunferência, e a gente tem dentro da circunferência um triângulo equilátero e aí externo a circunferência (ou seja, circunscrito) a gente tem um hexágono.
Então a gente quer saber o perímetro do hexágono circunscrito a circunferência que está circunscrita ao triângulo equilátero.

Então como é que a gente vai começar isso? Olha só vou pegar aqui o raio da minha circunferência, vamos pensar só em termos de triângulo equilátero, tá? Quando a gente tem um triângulo equilátero dentro dele uma pequena relação: esse pontinho que é o centro da circunferência da demarcando a divisão que vai dar a altura e esse pedacinho que vai desse centro até a base é chamado de apótema. O no triângulo equilátero ela tem uma relação: $a = \frac{1}{3} h$ , mas se vc observar é que tem o apótema e o que sobrou é o raio da circunferência. E tão bem, se a altura total é h e eu tenho que o apótema é igual (1/3)h; obviamente, o meu raio vai ser: $r = \frac{2}{3}h$. Tudo bem?

Mas, por que eu to fazendo isso? Também no triângulo equilátero a gente tem uma fórmula específica pra calcular a altura que é: $h = \frac{l \sqrt{3} }{2}$ então eu vou substituir aqui a altura por $\frac{l \sqrt{3} }{2}$ e vou encontrar uma relação entre raio e lado:

$r = \frac{2}{3} \frac{l \sqrt{3} }{2} \\ \\ r = \frac{l \sqrt{3} }{2}$

Bem, mas pra que que eu to usando isso? O meu problema me disse que a área desse triângulo é $18 \sqrt{3} cm^{2}$; bem, eu sei que a área do triângulo é $A = \frac{ l^{2} \sqrt{3} }{4}$ então se eu igualo isso a medida que foi dada eu encontro a medida do lado, encontrando a medida do lado eu encontro o raio, blz então vamos lá!

$A = \frac{ l^{2} \sqrt{3} }{4} = 18 \sqrt{3} \\\\ l^{2} = 18. 4 = 72 \\\\ l = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$

Então, essa é a medida do lado do meu triângulo equilátero então a partir da fórmula do raio que eu deduzi aqui, a gente consegue descobrir o raio em função do meu ladinho:

$r = \frac{6 \sqrt{2} \sqrt{3} }{3} \\ \\ r = 2 \sqrt{6}$

CUIDADO!! Esse valor é a letra (A), mas não é a nossa resposta.

Esse raio que tá aqui é o raio da minha circunferência e é óbvio que ele vai ter uma relação com o hexágono que tá circunscrito a essa circunferência. Bem, o problema salienta que é um hexágono regular e a gente sabe que um hexágono regular é formado por triângulos equiláteros, ou seja (olha a foto) se eu pegar o vértice aqui do meu hexágono e ligar eles até o centro, eu vou ter um novo triângulo equilátero, na qual a altura é justamente igual ao raio da minha circunferência, ta bom?

Então, observa só, eu tenho que a altura desse triângulo equilátero que forma o meu hexágono é justamente igual ao raio. Eu vou chamara a altura do triângulo novo de H e vou igualar ao raio.

$H = r = 2 \sqrt{6}$

Eu vou usar a mesma fórmula do raio, mas agr vou usar L.

$\frac{L \sqrt{3} }{2} = 2 \sqrt{6} \\ \\ L \sqrt{3} = 4 \sqrt{6} \\ \\ L = \frac{4 \sqrt{2} \sqrt{3} }{ \sqrt{3}} \\ \\ L = 4 \sqrt{2}$

CUIDADO!! Esse valor é a medida do lado do triângulo equilátero, e ele quer o perímetro e esse valor ta na letr (B)

O perímetro é a soma dos lados, se eu tenho 6 lados de msm medida eu tenho:

$2p = 6.4 \sqrt{2} = 24 \sqrt{2}$

Portanto, a nossa resposta fica na letra (E). É isso, espero ter ajudado!!