Question

Sabendo que A= 3².5^x.7³.19, B= 3³.5³.7^y.23 e m.d.c(A,B)= 2205, podemos afirmar que x e y são respectivamente:
A) 0 E 1
B) 1 E 2
C) 2 E 1
D) 2 E 3

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Paulo, que a resolução é simples, pois ela é bem racional, ou seja, ela depende apenas do raciocínio.

Antes de mais nada note que o MDC entre dois ou mais números é obtido pelo produto dos fatores primos COMUNS, tomados com os seus MENORES expoentes.
Então se temos que A e B, quando fatorados deram isto:

A = 3² * 5ˣ * 7³ * 19
e
B = 3³ * 5³ * 7ˠ * 23

Então deveremos ter isto para o MDC entre A e B. Note que os fatores comuns são apenas o "3", o "5" e o "7". Já vemos (logo de cara) que o expoente do "3" a ser considerado será o expoente "2", pois entre 3² e 3³ o que tem menor expoente é o 3²):

MDC(A, B) = 3² * 5ˣ * 7ˠ ------ (observação: valerá isto se o "x" for menor ou igual a "3" e o "y" for também menor ou igual a "3", pois o "5" está elevado à "3" no B e o "7" está também elevado a "3" no A).

Agora veja: se tomarmos que x = 3 e que y = 3 (pois ambos poderão ser menores ou iguais a "3"), então teríamos para o MDC entre A e B:

MDC(A, B) = 3² * 5³ * 7³
MDC(A, B) = 9 * 125 * 343
MDC(A, B) = 385.875 <--- Já vemos que esta combinação de expoentes não é a ideal, pois o valor do MDC(A, B) = 2.205, conforme já foi dado no enunciado da questão.

Vamos considerar o expoente "2" para cada um deles. Assim:

MDC(A, B) = 3² * 5² * 7²
MDC(A, B) = 9 * 25 * 49
MDC(A, B) = 11.025 <---- Já vemos também que esta outra combinação ainda não é a ideal, pela mesma razão já exposta no item anterior.

Então vamos considerar o "x" = 1 e o "y" = 2. Assim, teremos:

MDC(A, B) = 3² * 5¹ * 7²
MDC(A, B) = 9 * 5 * 49
MDC(A, B) = 2.205 <--- Pronto. Então o "x" = 1 e o "y" = 2, pois com esta combinação de expoentes encontramos o valor exato do MDC(A, B) que já foi dado e é igual a "2.205".

Assim, a resposta será:

x = 1 e y = 2 <--- Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.