Question

Sabendo que – 4 e 3 são raízes da equação x4 + 3x³ - 10x² - 24x = 0, determine as outras raízes

Answer 1

As raízes da equação são:

$\sf \longrightarrow$ $\sf \Large\boxed{\boxed{\sf S_1=\{0;-2\}}}$

Resolução

Denominamos uma equação polinomial ou equação algébrica toda equação que pode ser escrita na forma $\sf p(x)=0$, em que $\sf p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$  é um  polinômio de grau n, com $\sf n\geq 1~e~ a_n \ne0.$

O grau e as raízes de uma equação polinomial $\sf p(x)=0$ são respectivamente, iguais ao grau e às raízes do polinômio $\sf p(x)$. Definido como conjunto solução de uma equação polinomial o conjunto de todas as raízes.

• Como -4 e 3 são duas raízes da equação, podemos decompô-las da seguinte maneira:

$\sf x^4+3x^2-10x^2-24x=0\\\\\sf \Rightarrow (x+4)\cdot(x-3)\cdot q_2(x)=0$

• Então Obtemos $\sf q_2(x)$, Agora nós iremos aplicar o Dispositivo de Briot-Ruffini na divisão da equação por $\sf x+4$, e em seguida, o quociente dessa divisão por $\sf x-3$.

Dispositivo de Briot-Ruffini

          -4     |1       3    -10     -24 | 0

      --------|------------------------|----------

  3  |  1       $\sf ~~~~\underbrace{\sf -1}\\~~~~_{1(-4)+3}$      $~~\underbrace{\sf-6}\\_{-1(-4)-10}$ |  $~~\underbrace{\sf0}\\_{-1(-4)-24}$ |  $~~\underbrace{\sf0}\\_{\sf 0\cdot(-4)+0}$

      --------| ------------------------|----------

               |    1 $\underbrace{\sf 2}\\_{\sf 13-1}$      $\underbrace{\sf 0}\\_{\sf 2\cdot3-6}$    | $\underbrace{\sf 0}\\_{\sf 0\cdot3+0}$

Logo, $\sf \sf q_2(x)=x^2+2x.$ como as raízes da equação $\sf x^2=3x^3-10x^2-24x=0$ são 0,-2

As raízes da equação são:

$\sf \longrightarrow$ $\sf \Large\boxed{\boxed{\sf S_1=\{0;-2\}}}$

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Answer 2

Resposta:

x⁴ + 3x³ - 10x² - 24x = 0

x'=-4

x''=3

x *(x³+3x²-10x²-24)=0

terceira raiz = 0 , ficamos com x³+3x²-10x²-24=0

ax³+bx²+cx +d=a*(x-x₁)*(x-x₂)*(x-x₃)

x³+3x²-10x²-24=0

a=1

x³+3x²-10x-24 =(x+4)*(x-3) *(x-y)

x³+3x²-10x-24 =(x²+x-12) *(x-y)

x³+3x²-10x-24 =x³+x²-12x-yx²-yx+12y

x³+3x²-10x-24 =x³+x²(1-y)-x*(12+y)+12y

3x²-10x-24 =x²(1-y)-x*(12+y)+12y

3=1-y==>y=-2

12+y=10 ==>y=-2

-24=12y ==>y=-2

x₁=-4 , x₂=3 , x₃=0  e x₄=-2