Question

Sabendo que ( 3 - x; 5 - x; 11 - x, ...) são os três primeiros termos de uma PG, determine o valor de x e o valor do quarto termo.

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

A PG de três termos do tipo (a,b,c) possui uma propriedade que fala:.

"O quadrado do termo do meio é igual ao produto do extremos".

Algebricamente:

$\boxed{PG (a,b,c) \longrightarrow b{}^{2} = a.c}$

Vamos indentificar o elementos a, b e c da PG dada pela questão:

$\begin{cases} a = 3 - x\\ b = 5 - x \\ c =11 - x \end{cases}$

Substituindo na expressão:

$(5 - x) {}^{2} = (3 - x).(11 - x) \\ \\ (5 - x).(5 - x) = (3 - x).(11 - x) \\ \\ 5.5 - 5.x - 5.x + x.x = 3.11 - 3x - 11x + x.x \\ \\ 25 - 5x - 5x + x {}^{2} = 33 - 3x - 11x + x {}^{2} \\ \\ \cancel x {}^{2} - \cancel x {}^{2} - 10x + 14x = - 25 + 33 \\ \\ 4x = 8 \\ \\ x = \frac{8}{4} \\ \\ \boxed{\boxed{x = 2}} \leftarrow resposta$

Sabendo o valor de "x", vamos substituir para descobrir os termos da PG.

$PG \: (3 - x, \: \: 5 - x, \: \: 11 - x) \\ PG(3 - 2, \: \: 5 - 2, \: \: 11 - 2) \\ \boxed{PG(1, \: \: 3, \: \: 9)}$

Montamos a PG, agora vamos descobrir a sua razão:

• Razão:

A razão de uma PG pode ser calculada através da divisão de um termo qualquer pelo seu antecessor imediato.

$q = \frac{a2}{a1} \\ \\ q = \frac{3}{1} \\ \\ \boxed{q = 3}$

Substituindo no termo geral para descobrir o valor de a4 (quarto termo).

$\large\boxed{an = a1.q {}^{(n - 1)} } \\ \\ a4 = 1.3 {}^{(4 - 1)} \\ \\ a4 = 1.3 {}^{3} \\ \\ \boxed{ \boxed{a4 = 27}} \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

resolução!

( a2 )^2 = ( a1 ) ( a3 )

( 5 - x )^2 = ( 3 - x ) ( 11 - x )

25 - 10x + x^2 = 33 - 3x - 11x + x^2

- 10x + 14x = 33 - 25

4x = 8

X = 8/4

X = 2

= 3 - x , 5 - x , 11 - x

= 3 - 2 , 5 - 2 , 11 - 2

= 1 , 3 , 9

q = a2 / a1

q = 3 / 1

q = 3

a4 = a3 * q

a4 = 9 * 3

a4 = 27