Question

Sabendo que 2+i, 2-i e -3 são as raizes da equação x³-x²-7x+15=0, fatore o polinomio dado em outros dois polinomios com coeficientes reais, um com grau 2 e outro com grau 1.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é simples.
Lembre-se que toda equação do 3º grau, da forma: ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x'; x'' e x''', poderá ser simplificada em função de suas raízes da seguinte forma:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').

Assim, tendo, portanto, a relação acima como parâmetro, então a equação do terceiro grau da sua questão poderá ser simplificada em função das raízes que são: "2+i", "2-i" e "-3". Assim, teremos que:

x³ - x² - 7x + 15 = 1*[x-(2+i)]*[x-(2-i])*(x-(-3)) ---- desenvolvendo, teremos:
x³ - x² - 7x + 15 = [x²-x*(2-i)-(2+i)*x+(4-i²)]*(x+3) --- continuando, temos (lembre-se que i² = - 1):

x³ - x² - 7x + 15 = [x²-2x+xi-2x+xi+(4+1)]*(x+3)
x³ - x² - 7x + 15 = [x²-2x+xi-2x+xi+5]*(x+3) --- reduzindo os termos semelhantes:
x³ - x² - 7x + 15 = [x²-4x+5]*(x+3) --- ou apenas:
x³ - x² - 7x + 15 = (x²-4x+5)*(x+3) <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a forma simplificada da sua questão, conforme foi pedido (um polinômio do 2º grau e outro do primeiro grau).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Podemos escrever o polinômio dessa forma

     $\mathsf{p(x)=(x-r_{1})\cdot (x-r_{2})\cdot (x-r_{3})}$


Perceba que nesse polinômio se x = r1 a primeira parte vai zerar e consequentemente o polinômio vai dar 0. Se x = r2 ou x = r3 o polinômio vai zerar pelo mesmo motivo

__________


Como as raízes são conhecidas, vamos coloca-las na equação

     $\mathsf{p(x)=(x-(2+i))\cdot (x-(2-i))\cdot (x-(-3))}$

     $\mathsf{p(x)=(x-2-i)\cdot (x-2+i)\cdot (x+3))}$


Observe que o polinômio de grau um já está ali no canto direito. O polinômio de grau dois vamos obter multiplicando os dois primeiro fatores

     $\mathsf{p(x)=[x^{2}-2x+\diagup\!\!\!\! ix-2x-\diagup\!\!\!\! ix+4-i^{2}]\cdot (x+3)}$

     $\mathsf{p(x)=[x^{2}-4x+4+1]\cdot (x+3)}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{p(x)=(x^{2}-4x+5)\cdot (x+3)} \end{array}}$


Podemos conferir se a fatoração foi correta fazendo a distributiva

     $\mathsf{p(x)=(x^{2}-4x+5)\cdot (x+3)}$

     $\mathsf{p(x)=x^{3}-4x^{2}+5x+3x^{2}-12x+15}$

     $\mathsf{p(x)=x^{3}-x^{2}-7x+15}$


Pode ver que o polinômio é o mesmo do exercício


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Bons estudos! :)