Question

Sabendo que -2 é um autovalor de:

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Answer 1

Um autovetor associado a um autovalor λ respeita a igualdade:

$A\vec{v}=\lambda\vec{v}$

Achamos os autovalores de uma matriz achando as raízes do polinômio característico de A, onde

$p_{c}^{A}(\lambda)=det(A-\lambda I)$

Onde I é a matriz identidade
______________________________

Se λ = - 2 é um autovalor, então sabemos que

$A\vec{v}=-2\vec{v}\\\\A\vec{v}+2\vec{v}=\vec{0}\\\\A\vec{v}+2I\vec{v}=\vec{0}$

Pela linearidade do produto matriz-vetor:

$(A+2I)\vec{v}=\vec{0}$

Ou seja, o vetor v (autovetor associado ao autovalor -2) pertence ao núcleo de A + 2I

$A+2I=\left[\begin{array}{cc}2&~~2\\2&-1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4&2\\2&1\end{array}\right]$

Achando o núcleo dessa matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}4&2&0\\2&1&0\end{array}\right]~l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1}-l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2&1&0\end{array}\right]$

Descartando a linha de zeros:

$\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\end{array}\right]~~l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1}\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{2}&0\end{array}\right]$

Então, temos que o núcleo é o conjunto de vetores que satisfazem

$x_{1}+(\frac{1}{2})x_{2}=0~~~\therefore~~~2x_{1}+x_{2}=0$

Um vetor que satisfaz essa equação é o (-1,2), já que

$2(-1)+2\cdot1=0$

Então, (-1, 2) é um autovetor associado ao autovalor λ = - 2 e, consequentemente, todo múltiplo dele também é autovetor associado ao mesmo autovalor, já que o núcleo é o espaço gerado por (-1, 2), que é uma reta

Com isso, b) e c) são possíveis respostas para o problema. Veja

b) (1, -2)

$\left[\begin{array}{cc}2&~~2\\2&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}~~1\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2\\~~4\end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{ccc}~~1\\-2\end{array}\right]$

c) (-1, 2)

$\left[\begin{array}{cc}2&~~2\\2&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1\\~~2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}~~2\\-4\end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{ccc}-1\\~~2\end{array}\right]$