Soluções para a tarefa
Respondido por
1
Um autovetor associado a um autovalor λ respeita a igualdade:

Achamos os autovalores de uma matriz achando as raízes do polinômio característico de A, onde

Onde I é a matriz identidade
______________________________
Se λ = - 2 é um autovalor, então sabemos que

Pela linearidade do produto matriz-vetor:

Ou seja, o vetor v (autovetor associado ao autovalor -2) pertence ao núcleo de A + 2I
![A+2I=\left[\begin{array}{cc}2&~~2\\2&-1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4&2\\2&1\end{array}\right] A+2I=\left[\begin{array}{cc}2&~~2\\2&-1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4&2\\2&1\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A%2B2I%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D2%26amp%3B%7E%7E2%5C%5C2%26amp%3B-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%2B2%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D1%26amp%3B0%5C%5C0%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D4%26amp%3B2%5C%5C2%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Achando o núcleo dessa matriz:
![\left[\begin{array}{ccc}4&2&0\\2&1&0\end{array}\right]~l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1}-l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2&1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}4&2&0\\2&1&0\end{array}\right]~l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1}-l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2&1&0\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B2%26amp%3B0%5C%5C2%26amp%3B1%26amp%3B0%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%7El_%7B1%7D%5Cleftarrow%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29l_%7B1%7D-l_%7B2%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%26amp%3B0%26amp%3B0%5C%5C2%26amp%3B1%26amp%3B0%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Descartando a linha de zeros:
![\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\end{array}\right]~~l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1}\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{2}&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\end{array}\right]~~l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1}\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{2}&0\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D2%26amp%3B1%26amp%3B0%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%7E%7El_%7B1%7D%5Cleftarrow%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29l_%7B1%7D%5C%5C%5C%5C%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%26amp%3B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%26amp%3B0%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Então, temos que o núcleo é o conjunto de vetores que satisfazem

Um vetor que satisfaz essa equação é o (-1,2), já que

Então, (-1, 2) é um autovetor associado ao autovalor λ = - 2 e, consequentemente, todo múltiplo dele também é autovetor associado ao mesmo autovalor, já que o núcleo é o espaço gerado por (-1, 2), que é uma reta
Com isso, b) e c) são possíveis respostas para o problema. Veja
b) (1, -2)
![\left[\begin{array}{cc}2&~~2\\2&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}~~1\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2\\~~4\end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{ccc}~~1\\-2\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2&~~2\\2&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}~~1\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2\\~~4\end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{ccc}~~1\\-2\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D2%26amp%3B%7E%7E2%5C%5C2%26amp%3B-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%7E%7E1%5C%5C-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-2%5C%5C%7E%7E4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D-2%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%7E%7E1%5C%5C-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
c) (-1, 2)
![\left[\begin{array}{cc}2&~~2\\2&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1\\~~2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}~~2\\-4\end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{ccc}-1\\~~2\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2&~~2\\2&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1\\~~2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}~~2\\-4\end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{ccc}-1\\~~2\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D2%26amp%3B%7E%7E2%5C%5C2%26amp%3B-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-1%5C%5C%7E%7E2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%7E%7E2%5C%5C-4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D-2%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-1%5C%5C%7E%7E2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Achamos os autovalores de uma matriz achando as raízes do polinômio característico de A, onde
Onde I é a matriz identidade
______________________________
Se λ = - 2 é um autovalor, então sabemos que
Pela linearidade do produto matriz-vetor:
Ou seja, o vetor v (autovetor associado ao autovalor -2) pertence ao núcleo de A + 2I
Achando o núcleo dessa matriz:
Descartando a linha de zeros:
Então, temos que o núcleo é o conjunto de vetores que satisfazem
Um vetor que satisfaz essa equação é o (-1,2), já que
Então, (-1, 2) é um autovetor associado ao autovalor λ = - 2 e, consequentemente, todo múltiplo dele também é autovetor associado ao mesmo autovalor, já que o núcleo é o espaço gerado por (-1, 2), que é uma reta
Com isso, b) e c) são possíveis respostas para o problema. Veja
b) (1, -2)
c) (-1, 2)
didifabu1:
isso mesmo obrigada certa a resposta , [b] 1 sobre -2
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