Question

Sabendo que 2 é raiz da equação x^3 + 2x² - 5x + c = 0 determine c e o conjunto solução.

Answer 1

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abraços.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Lorena, que a resolução é simples.

Pede-se o valor de "c" e o conjunto-solução da seguinte expressão, sabendo-se que "2" é uma raiz:

x³ + 2x² - 5x + c = 0
Agora veja isto que é importante: se "2" é uma raiz, então quando substituirmos o "x" por "2" iremos zerar a expressão acima.
Logo, vamos vamos fazer isso, ou seja, vamos substituir o "x" por "2" e igualar a zero a expressão. Assim:

2³ + 2*2² - 5*2 + c = 0
8 + 2*4 - 10 + c = 0
8 + 8 - 10 + c = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
6 + c = 0 ----- passando "6" para o 2º membro, teremos:
c = - 6 <---- Esta é a resposta quanto ao valor de "c" .

Agora vamos dar o conjunto-solução da expressão dada, após substituirmos "c" por "-6". Assim, a expressão dada ficará sendo:

x³ + 2x² - 5x + (-6) = 0 ---- ou apenas:
x³ + 2x² - 5x - 6 = 0 .

Agora veja: para encontrar o conjunto-solução (que resume em se encontrar todas as raízes da expressão dada), vamos dividir a expressão "x³+2x²-5x-6" por "x-2" (já que "2" é uma das raízes), pois toda expressão é divisível (ou seja, deixa resto zero) quando dividido por uma de suas raízes.
Então vamos fazer isso.

x³ + 2x² - 5x - 6 |_x-2_ <---- divisor
. . . . . . . . . . . . . . .x² + 4x + 3 <--- quociente
-x³+2x²
---------------------------
0 + 4x² - 5x - 6
....- 4x²+8x
----------------------
.......0+3x - 6
........ -3x + 6
----------------------
...........0....0 <--- Resto (veja que o resto é zero mesmo, pois a expressão é divisível divisível por "x-2".

Agora note que encontramos o quociente dessa divisão, que é este:

x² + 4x + 3 ----- vamos encontrar as raízes do quociente e teremos as outras duas raízes, pois já sabemos que uma delas é "2". Agora vamos igualar este quociente a zero e teremos as outras duas raízes. Assim:

x² + 4x + 3 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = -3
x'' = -1 .

Veja como é a fórmula de Bháskara e veja como encontramos as raízes x' = - 3 e x'' = - 1. A fórmula de Bháskara é esta:

x = [-b+-√(b²-4ac)]/2a ---- substituindo-se "b" por "4", "a' por "1" e "c" por "3", teremos:
x = [-4+-√(4²-4*1*3)]/2*1
x = [-4+-√(16-12)]/2
x = [-4+-√(4)]/2 ------ como √(4) = 2, teremos:
x = [-4+-2]/2 --- ou apenas:
x = (-4+-2)/2 ----- daqui você conclui que:

x' = (-4-2)/2 = (-6)/2 = -6/2 = - 3
e
x'' = (-4+2)/2 = (-2)/2 = -2/2 = -1

Pronto. Com a aplicação de Bháskara encontramos que as raízes são x' = -3 e x'' = -1,como visto acima. Deu pra entender bem?

Assim, o conjunto-solução da expressão x³ + 2x² - 5x - 6 = 0 será este (colocando as raízes em ordem crescente):

x' = - 3; x'' = - 1; e x''' = 2.

Dessa forma, o conjunto-solução {x'; x''; x'''} será este (colocando as raízes em ordem crescente):

S = {-3; -1; 2} <--- Pronto. Este é o conjunto-solução da expressão dada.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.