Question

Sabendo que 2 é raiz da equação x^3 + 2x^2 - 5x + c, calcule as outras duas raízes da equação

Answer 1

Olá!

 Presumo que a equação seja $x^3 + 2x^2 - 5x + c = 0$.

 De acordo com o enunciado, DOIS é solução; então fazemos:

$\\ \mathsf{(2)^3 + 2 \cdot (2)^2 - 5 \cdot (2) + c = 0} \\\\ \mathsf{8 + 8 - 10 + c = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{c = - 6}}$

 Assim, devemos determinar as raízes de $\mathsf{x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0}$ sabendo que 2 é uma das raízes. Segue:

$\\ \mathsf{x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (ax^2 + bx + d) \cdot (x - 2) + \underbrace{\mathsf{r(x)}}_{nulo}} \\\\ \mathsf{x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = ax^3 - 2ax^2 + bx^2 - 2bx + dx - 2d} \\\\ \mathsf{x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = ax^3 + (- 2a + b)x^2 + (- 2b + d)x - 2d} \\\\ \begin{cases} \mathsf{1 = a \qquad \qquad \qquad (i)}\\ \mathsf{2 = - 2a + b \qquad \quad (ii)} \\ \mathsf{- 5 = - 2b + d \qquad (iii)} \\ \mathsf{- 6 = - 2d \qquad \qquad (iv)}\end{cases}$


 Resolvendo (i), (ii), e (iv) teremos: $\boxed{\mathsf{a = 1}}$, $\boxed{\mathsf{b = 4}}$ e $\boxed{\mathsf{d = 3}}$.

 Ou seja, as outras raízes são obtidas resolvendo $\boxed{\mathsf{x^2 + 4x + 3 = 0}}$. Segue,

$\\ \mathsf{x^2 + 4x + 3 = 0} \\\\ \mathsf{x^2 + x + 3x + 3 = 0} \\\\ \mathsf{x(x + 1) + 3(x + 1) = 0} \\\\ \mathsf{(x + 1)(x + 3)} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ - 3, - 1 \right \}}}}}$