Question

Sabendo que (1+i)² = 2i, então o valor da expressão y = (1+i)^48 - (1+i)^49 é:
a) 1+i
b) -1+i
c) 2^24.i
d) 2^48.i
e) -2^24.i

Answer 1

$(1+i)^{2}=2i\\(1+i)^{4}=(2i)^{2}\\(1+i)^{4}=2^{2}i^{2}\\(1+i)^{4}=4(-1)\\(1+i)^{4}=-4$
_______________________

$y=(1+i)^{48}-(1+i)^{49}$

Colocando (1 + i)⁴⁸ em evidência:

$y=(1+i)^{48}*(1-[1+i]^{1})\\y=(1+i)^{48}*(1-1-i)\\y=(1+i)^{48}*(-i)\\y=[(1+i)^{4}]^{12}*(-i)\\y=[-4]^{12}*(-i)\\y=4^12}*(-i)\\y=-4^{12}i\\y=-(2^{2})^{12}i\\y=-2^{2*12}i\\y=-2^{24}i$
____________________________________________

Se preferir:

$y=(1+i)^{48}-(1+i)^{49}\\y=[(1+i)^{2}]^{24}-[(1+i)^{2}]^{24}(1+i)^{1}\\y=(2i)^{24}-(2i)^{24}(1+i)\\y=2^{24}i^{24}-2^{24}i^{24}(1+i)\\y=2^{24}i^{0}-2^{24}i^{0}(1+i)\\y=2^{24}-2^{24}(1+i)\\y=2^{24}-2^{24}-2^{24}i\\y=-2^{24}i$

Answer 2

O valor da expressão y = (1 + i)⁴⁸ - (1 + i)⁴⁹ é -2²⁴i.

Sabemos que na multiplicação de potências de mesma base, devemos repetir a base e somar os expoentes.

Sendo assim, podemos reescrever a expressão y = (1 + i)⁴⁸ - (1 + i)⁴⁹ da seguinte maneira:

y = (1 + i)⁴⁸ - (1 + i)⁴⁸.(1 + i).

Observe que podemos colocar o (1 + i)⁴⁸ em evidência. Então:

y = (1 + i)⁴⁸(1 - (1 + i))

y = (1 + i)⁴⁸(1 - 1 - i)

y = (1 + i)⁴⁸.(-i).

Como 48 = 2.24, então é válido dizer que:

y = ((1 + i)²)²⁴.(-i).

O enunciado nos diz que (1 + i)² = 2i. Fazendo essa substituição, obtemos:

y = (2i)²⁴.(-i)

y = 2²⁴.i²⁴.(-i)

O número i²⁴ é igual a 1. Portanto, podemos concluir que:

y = 2²⁴.(-i)

y = -2²⁴i.

Alternativa correta: letra e).

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