Question

Sabendo que -1 e 1 são raizes da equação x^4 − 2x^3 + x^2 + 2x − 2 = 0, encontre seu conjunto solu ̧c ̃ao.

Responda e me explicar o passo a passo por favor

Answer 1

$\sf x^4-2x^3+x^2+2x-2=0$

se - 1 e 1 são raízes da equação, então a equação é divisível por

$\sf (x-1)(x+1) \to x^2-1$

Vamos manipular a equação de modo que dê para colocar x²-1 em evidência :

$\sf x^4-x^2+2x^2-2x^3+2x-2 = 0 \\\\ x^4-x^2+2x^2-2-2x^3+2x= 0 \\\\ x^2(x^2-1)+2(x^2-1)-2x(x^2-1)= 0 \\\\ (x^2-1)(x^2-2x+2) = 0$

Daí :

$\displaystyle \sf x^2-1 = 0 \to x^2= 1 \to x=\pm 1 \\\\ e \\\\ x^2-2x+2 = 0 \\\\ x^2-2x+1+1=0 \\\\ (x-1)^2 +1 = 0 \to (x-1)^2 = -1 \\\\ x-1 = \pm\sqrt{-1} \\\\ x-1 = \pm i \\\\ x = 1 + 1 \ \ ou \ \ x = 1-i$

Portanto o conjunto solução é :

$\boxed{\displaystyle \sf x=\{ 1,\ -1\ , \ (1+i) \ , \ (1-i)\ \}}\checkmark$