Question

sabendo q sen(X) = 5/7 e (X) ∈ 2° quadrante . Calcule Tg (2x)

Answer 1

Olá.

$\boxed{\mathsf{tg(a + b) = \dfrac{tg(a) + tg(b)}{1 - tg(a) \times tg(b)}}} \: \: \: \boxed{\mathsf{\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}}}$

• Para descobrir a tangente de '2x', podemos substituir a tangente pela divisão entre seno e cosseno.

$\mathsf{cos^{2}(x) = 1 - sen^{2}(x)} \\ \\ \mathsf{cos^{2}(x) = 1 - (\frac{5}{7})^{2}} \\ \\ \mathsf{cos^{2}(x) = 1 - \frac{25}{49}} \\ \\ \mathsf{cos^{2}(x) = \frac{24}{49}} \\ \\ \mathsf{cos(x) = \frac{ - 2 \sqrt{6}}{7}}$

• Agora que temos o valor do cosseno, podemos calcular a tangente:

$\mathsf{tg(a + b) = \dfrac{tg(a) + tg(b)}{1 - tg(a) \times tg(b)}} \\ \\ \\ \\ \mathsf{tg(2x) = \dfrac{2 \times tg(x)}{1 - tg^{2}(x)}} \\ \\ \\ \mathsf{tg(2x) = \dfrac{2 \times \frac{sen(x)}{cos(x)}}{1 - \frac{sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}}} \\ \\ \\ \\ \mathsf{tg(2x) = \dfrac{2 \times \frac{5}{7} \times \frac{-7}{2\sqrt{6}}}{1 - \frac{25}{49} \times \frac{49}{24}}}} \\ \\ \\ \\ \mathsf{tg (2x) = \dfrac{\frac{-70}{14\sqrt{6}}}{1 - \frac{1225}{1176}}} \\ \\ \\ \\ \mathsf{tg (2x) = \dfrac{\frac{-980 \sqrt{6}}{1176}}{\frac{1176}{1176} - \frac{1225}{1176}}} \\ \\ \\ \mathsf{tg (2x) = \dfrac{\frac{-980 \sqrt{6}}{\not 1176}}{\frac{-49}{\not 1176}}} \\ \\ \\ \\ \mathsf{tg(2x) = \dfrac{-980 \sqrt{6}}{-49}}} \\ \\ \\ \\ \mathsf{tg (2x) = 20 \sqrt{6}}$

Bons estudos.

Answer 2

Primeiro, vamos encontrar tg(x):

Por definição de tangente, temos

tg(x) = sen(x)/cos(x)

Vamos expressar tg(x) em termos de sen(x). Para isso, eleve os dois lados ao quadrado:

tg²(x) = sen²(x)/cos²(x)

Agora, use a Relação Trigonométrica Fundamental

• cos²(x) = 1 − sen²(x)

e substituindo, ficamos com

tg²(x) = sen²(x)/[1 − sen²(x)]

Substitua acima o valor de sen(x) = 5/7:

tg²(x) = (5/7)²/[1 − (5/7)²]

tg²(x) = (25/49)/[1 − (25/49)]

Multiplique o numerador e o denominador por 49 para simplificar:

tg²(x) = 25/(49 − 25)

tg²(x) = 25/24

Tomando as raízes quadradas dos dois lados, temos

tg(x) = ± √(25/24)

tg(x) = ± 5/√24

tg(x) = ± 5/√(2² · 2 · 3)

tg(x) = ± 5/[√(2²) · √(2 · 3)]

tg(x) = ± 5/(2√6)

Como x é do 2º quadrante, a tangente de x é negativa. Logo,

tg(x) = − 5/(2√6)

Racionalize o denominador, multiplicando o numerador e o denominador por √6:

tg(x) = (− 5 · √6)/[(2√6) · √6]

tg(x) = (− 5√6)/(2 · 6)

tg(x) = (− 5√6)/12

=====

Agora, usaremos a identidade da tangente do arco duplo:

• tg(2x) = [2 · tg(x)]/[1 − tg²(x)]

Substitua tg(x) = (− 5√6)/12 e tg²(x) = 25/24 na identidade acima:

tg(2x) = [2 · (− 5√6)/12]/[1 − (25/24)]

tg(2x) = [(− 10√6)/12] / [1 − (25/24)]

Multiplique o numerador e o denominador por 24 para simplificar:

tg(2x) = [24 · (− 10√6)/12]/(24 − 25)

tg(2x) = [(− 240√6)/12]/(− 1)

tg(2x) = (− 20√6)/(− 1)

tg(2x) = 20√6 <——— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)