Question

Sabemos que v7 está entre 2 e 3. Determine o valor de
aproximado desse numero irracional, com duas casas
decimais

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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\sqrt{7}\approx2.64}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o Método de Newton-Raphson.

Consiste em considerarmos um polinômio cuja solução seja o valor que procuramos e realizarmos iterações (aproximações pela reta tangente).

Cada iteração é calculada de acordo com a fórmula:

$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$, tal que $f'(x_n)$ é a derivada da função no ponto $x_n$.

Então, seja o polinômio $f(x)=x^2-7$.

Calculamos sua derivada, lembrando que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Assim, temos:

$f'(x)=(x^2-7)'\\\\\\ f'(x)=(x^2)'-(7)'\\\\\\ f'(x)=2x$

Buscamos o valor aproximado de $\sqrt{7}$, sabendo que este número está entre $2$ e $3$.

A primeira iteração será um dos valores dados: utilizaremos o $3$, para que tenhamos uma aproximação por excesso.

Dessa forma, teremos:

$x_1=3-\dfrac{3^2-7}{2\cdot3}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x_1=3-\dfrac{9-7}{6}$

Some os valores

$x_1=3-\dfrac{2}{6}\\\\\\ x_1=3-\dfrac{1}{3}\\\\\\ x_1=\dfrac{8}{3}$

Como buscamos uma aproximação de duas casas decimais, o erro desta iteração, isto é, o módulo da diferença entre a iteração e o valor utilizado deve ser menor que $10^{-2}$.

Fazemos mais uma iteração

$x_2=\dfrac{8}{3}-\dfrac{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2-7}{2\cdot\dfrac{8}{3}}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x_2=\dfrac{8}{3}-\dfrac{\dfrac{64}{9}-7}{\dfrac{16}{3}}$

Some os valores

$x_2=\dfrac{8}{3}-\dfrac{\dfrac{1}{9}}{\dfrac{16}{3}}\\\\\\ x_2=\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{48}\\\\\\ x_2=\dfrac{127}{48}$

Ao realizarmos mais uma iteração, teremos:

$x_3=\dfrac{127}{48}-\dfrac{\left(\dfrac{127}{48}\right)^2-7}{2\cdot\dfrac{127}{48}}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x_3=\dfrac{127}{48}-\dfrac{\dfrac{16129}{2304}-7}{\dfrac{127}{24}}$

Some os valores

$x_3=\dfrac{127}{48}-\dfrac{\dfrac{1}{2304}}{\dfrac{127}{24}}\\\\\\ x_3=\dfrac{127}{48}-\dfrac{1}{12192}\\\\\\ x_3=\dfrac{32257}{12192}\approx 2.6457$

Esta aproximação satisfaz o que é pedido no enunciado.