Question

Sabemos que todo triângulo equilátero também é equiângulo, isto é, os seus três ângulos internos são congruentes. Desse modo, observe a imagem abaixo. Sabendo que o triângulo ABC é equilátero, determine a medida do ângulo X.

Answer 1

Resposta:

Antes de iniciar a explicação, duas propriedades valiosas sobre triângulos e um termo sobre ângulos que serão aplicadas aqui:

Lei angular de Tales: a soma de todos os ângulos internos de um triângulo é sempre 180º

Triângulo isósceles: todo e qualquer triângulo que possua dois lados iguais. Se um triângulo tem dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são congruentes. Em outras palavras, um triângulo com dois lados iguais também possui dois ângulos iguais.

Ângulos suplementares são aqueles que, quando somados, resultam em 180º.

Agora vamos analisar a imagem.

Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, e o triângulo ABC é equilátero, então temos que seus ângulos internos, $B\hat AC$, $A\hat BC$ e $A\hat CB$, tem a mesma medida $\alpha$,

$3\alpha=180\circ\\\\\alpha=\dfrac{180^\circ}{3}\\\alpha=60^\circ$

Ok. Vamos analisar mais um pouco. Os ângulos $A\hat CB$ e $A\hat CD$ são complementares. Isto é,

$A\hat CB+A\hat CD=180^\circ$

Como vimos anteriormente, $A\hat CB=60^\circ$, então

$60^\circ+A\hat CD=180^\circ$

$A\hat CD=180^\circ-60^\circ\\A\hat CD=120^\circ$

Legal. A última análise, aqueles traços sobre as os lados indicam igualdade de valor. Então

$\overline{AB} = \overline{BC} =\overline{AC}=\overline{CD}$

Certo? Então verificamos um triângulo isósceles ACD. Se é isósceles, sabemos que os ângulos $C\hat AD$ e $C\hat DA$ (nosso x, aliás) são iguais.

Ora, se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, temos o seguinte:

$A\hat CD+C\hat DA+C\hat AD=180^\circ\\120^\circ+x+C\hat AD=180^\circ\\x+C\hat AD=180^\circ-120^\circ\\x+C\hat AD=60^\circ$

Como $x$ e $C\hat AD$ são iguais, então,

$x+x=60^\circ\\2x-60^\circ\\x=\dfrac{60^\circ}{2}\\x=30^\circ$