Question

Sabemos que, se conhecermos as coordenadas de dois pontos de uma reta, podemos calcular a equação geral dessa reta. Então, dados os pontos A(3;1) e B(5;5), podemos afirmar que a equação da Reta que passa por esses pontos é....

Answer 1

Resposta:

Segunda opção

Explicação passo a passo:

Seja (x, y) um ponto genérico da reta:

$\left|\begin{array}{cccc}x&x_A&x_B&x\\y&y_A&y_B&y\end{array}\right|_{+}^{-}=0\\\\\left|\begin{array}{cccc}x&3&5&x\\y&1&5&y\end{array}\right|_{+}^{-}=0$

|x.1 + 3.5 + 5.y - y.3 - 1.5 - 5.x| = 0

|x + 15 + 5y - 3y - 5 - 5x | = 0

|-4x + 2y + 10| = 0

-4x + 2y + 10 = 0

2y = 4x - 10

Dividindo por 2

y = 2x - 5

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta contida no plano cartesiano, passando pelos pontos "A" e "B" é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: y = 2x - 5\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

                       $\Large\begin{cases} A(3, 1)\\B(5,5)\end{cases}$

Para montar a equação da reta que passa por dois pontos, podemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", que é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$      $\Large\displaystyle\begin{gathered} Y- Y_{A} = m_{r}\cdot(X - X_{A})\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \tan\theta\cdot(X - X_{A})\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot(X - X_{A})\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{Y_{B} - Y_{A}}{X_{B} - X_{A}}\cdot(X - X_{A})\end{gathered} }$

Desenvolvendo a equação "I" chegamos à equação "II".

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} Y - Y_{A} = \frac{Y_{B} - Y_{A}}{X_{B} - X_{A}}\cdot(X - X_{A})\end{gathered} }$

Substituindo as coordenadas dos pontos "A" e "B" na equação "II", temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = \frac{5 - 1}{5 - 3}\cdot(x - 3)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = \frac{4}{2}\cdot(x - 3)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = 2\cdot(x - 3)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = 2x - 6\end{gathered}$

Chegando neste ponto, devemos saber qual será a forma final da equação da reta. Como não nos foi passado a forma final da reta e nas respostas só existe formas reduzidas de retas, então, vou deixar a resposta final da equação da reta em sua forma reduzida. Para isso, devemos isolar a ordenada "y" no primeiro membro da equação "III", ou seja:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x - 6 + 1\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x - 5\end{gathered}$

Portanto, a equação reduzida da reta procurada é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: y = 2x - 5\end{gathered}$

     

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Solução gráfica (figura):