Question

Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida
utilizando integrais triplas.
Com relação a isso, deduza a fórmula de um paralelogramo utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa da sua dedução, principalmente a
definição dos limites de integração.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Answer 2

Utilizando integrais triplas, demonstramos que, o volume de uma esfera de raio R é $\dfrac{4}{3} \pi R^3$

Integral tripla

Para calcular o volume da esfera vamos utilizar integrais triplas, mas se utilizarmos o sistema de coordenadas 0xyz teremos uma integral mais complexa para resolver. Nesse caso, o problema é simplificado se utilizarmos coordenadas esféricas para descrever a integral tripla associada ao volume. De fato, fazendo a mudança de coordenadas, obtemos:

$V = \int \int \int_E dx dy dz = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \rho^2 sen \phi \; d \rho d \phi d \theta$

Observe que o ângulo $\rho$ pertence ao intervalo $0 \leq \rho \leq \pi$ para que cada ponto seja coberto uma única vez pelos parâmetros. Para resolver essa integral tripla, podemos escrever:

$V = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \dfrac{R^3}{3} sen \phi \; d \phi d \theta = \dfrac{R^3}{3} \int_0^{2 \pi} 2 \; d \theta = \dfrac{4}{3} \pi R^3$

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#SPJ1