Question

Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas. Com relação a isso, deduza a fórmula de um paralelogramo utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.

Answer 1

Utilizando integral tripla para calcular o volume do prisma dado na imagem, obtemos o resultado $abc/2$

Volume do sólido

O sólido dado na imagem é um prisma de base triangular. Sabemos que o volume desse sólido é igual ao produto da área da base pela altura, ou seja, $abc/2$

Vamos utilizar integral tripla para demonstrar esse resultado. Observe que os valores da variável x pertencem ao intervalo [0, a], portanto, esses serão os limites de integração em relação a x. A variável z possui valores entre 0 e c, logo, esses serão os limites de integração da variável z.

No caso da variável y, podemos observar que, os valores estão limitados por dois planos:

$y = \dfrac{b}{2} - \dfrac{b}{2a} x$

$y = - \dfrac{b}{2} + \dfrac{b}{2a}x$

Essas expressões serão os limites da integral em relação a y. Temos que, como esses limites dependem da variável x, a integral em relação a y deverá ser calculada antes da integral em relação a x.

Dessa forma, temos a seguinte integral tripla:

$\int_0^a \int_0^c \int^{\frac{b}{2} - \frac{b}{2a} x}_{- \frac{b}{2} + \frac{b}{2a} x} dy dz dx = \int_0^a \int_0^c - \dfrac{bx}{a} + b dz dx = \int_0^a c*(- \dfrac{bx}{a} + b) dx = abc/2$

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#SPJ1