Question

Sabemos que os números complexos formam um conjunto que é mais abrangente que os numeros reais, então sejam os números complexo z = 2 – i e w = 4 + i. Analise as alternativas a seguir:

I. 2z – w = –3i.
II. z2 = 4 + 2i.
III. z/w = 1/2 + 2i.
IV. w2 = 2 – 5i

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Pablo, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Temos os seguintes números complexos:

z = 2 - i

e

w = 4 + i.

ii) Dados os dois complexos acima, pede-se para analisar cada alternativa dada a seguir:

I. 2z - 3 = - 3i.

Vamos ver se isso é verdade mesmo. Como já sabemos que z = 2-i e que w = 4+i, então teremos que:

2z - w = 2*(2-i) - (4+i) ----- desenvolvendo, temos:

2z - w = 4-2i - 4-i ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

2z - w = 0 - 3i ----- ou apenas:

2z - w = - 3i <---- Afirmativa VERDADEIRA, pois na verdade 2z-3 = -3i.

II. z² = 4 + 2i ------ vamos ver se isso é verdade: como sabemos que z = 2-i, então teremos que:

z² = (2-i)² ------ desenvolvendo, teremos:

z² = 4 - 2i + i² ----- como i² = -1, teremos:

z² = 4 - 2i + (-1) ------ ou apenas:

z² = 4 - 2i - 1 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos;

z² = 3 - 2i <--- Esta deve ser a resposta. Logo, a afirmativa é FALSA, pois z² não é igual a "4+2i", mas é igual ao que encontramos acima (3-2i). Por isso esta afirmativa é FALSA.

III. z/w = 1/2 + 2i ----- vamos ver. Vamos substituir "z" e "w" por suas representações. Assim:

z/w = (2-i)/(4+i) ---- vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador que vai ser (4-i). Assim, teremos:

z/w = (2-i)*(4-i)/(4+i)*(4-i) ---- efetuando os produtos indicados, teremos;

z/w = (8-6i+i²)/(16-i²) ---- note que i² = -1. Assim, teremos:

z/w = (8-6i+(-1))/(16-(-1)) ---- desenvolvejdo, temos:

z/w = (8+6i-1) / (16+1) ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

z/w = (7 + 6i)/(17) --- ou apenas:

z/w = 7/17 + 6i/17 <--- Esta é a resposta. Logo, a afirmativa é FALSA, pois não deu "1/2 + 2i". Por isso esta afirmativa é FALSA.

IV. w² = 2 - 5i ----- vamos ver se é verdade. Como já vimos que w = (4+i). Logo:

w² = (4+i)² ---- desenvolvendo o quadrado, teremos:

w² = 16+8i+i² ---- como i² = -1, temos:

w² = 16 + 8i - 1 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos;

w² = 15 + 8i <--- Esta é a resposta. Logo, esta afirmativa é FALSA, pois não deu "2-5i".

Assim, como você viu, apenas a afirmativa (I) é verdadeira. Todas as outras são falsas.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.