Question

Sabemos que duas cidades vizinhas têm índices diferentes na quantidade de fumantes. Estima-se
que 25% dos habitantes da cidade A fumem, enquanto na cidade B os fumantes são apenas em torno de 18%.
Considerando que tomemos em cada cidade uma amostra de 150 pessoas ao acaso, qual é a probabilidade de
a amostra da cidade B apresentar mais fumantes em média que os da cidade A?

Answer 1

Resposta:

a resposta correta é a letra b

Answer 2

A probabilidade da amostra da cidade B ter mais fumantes em média que a da cidade A é muito baixa. É improvável que isso aconteça, de acordo com os cálculos de probabilidade.

Probabilidade de diferença média

Podemos modelar o número de fumantes em cada amostra de uma cidade como uma variável aleatória com distribuição binomial, já que cada indivíduo pode ou não ser fumante. Nesse caso, a média de fumantes em cada amostra pode ser calculada como a multiplicação da proporção de fumantes na população pela tamanho da amostra.

Assim, a média de fumantes na amostra da cidade A é dada por:

$μ_A = 0.25 * 150 = 37.5$

E a média de fumantes na amostra da cidade B é dada por:

$μ_B = 0.18 * 150 = 27$

Ou seja, esperamos que a amostra da cidade A tenha uma média de 37.5 fumantes e a amostra da cidade B tenha uma média de 27 fumantes.

Para calcular a probabilidade de que a amostra da cidade B apresente mais fumantes em média do que a amostra da cidade A, precisamos calcular a distribuição da diferença entre as duas médias amostrais. Sabendo que a diferença entre as médias é dada por:

$μ_B - μ_A = 27 - 37.5 = -10.5$

Podemos calcular a variância da diferença entre as médias amostrais como a soma das variâncias de cada amostra, dividida pelo tamanho da amostra:

$σ^2_diff = σ^2_A/N_A + σ^2_B/N_B$

Onde $σ^2_A e σ^2_B$ são as variâncias das distribuições binomiais de cada amostra (dadas por np(1-p), onde p é a proporção de fumantes na população e n é o tamanho da amostra), e N_A e N_B são os tamanhos das amostras.

Assim, temos:

$σ^2_A = 150 * 0.25 * 0.75 = 28.125σ^2_B = 150 * 0.18 * 0.82 = 21.06$

E, portanto:

$σ^2_diff = 28.125/150 + 21.06/150 = 0.344$

Agora, podemos padronizar a diferença entre as médias amostrais para obter o valor Z correspondente à probabilidade de que a amostra da cidade B apresente mais fumantes em média do que a amostra da cidade A. Assumindo que as médias amostrais seguem uma distribuição normal, temos:

$Z = (μ_B - μ_A) / sqrt(σ^2_diff) = (-10.5) / sqrt(0.344) = -18.33$

Consultando uma tabela de distribuição normal padrão, podemos ver que a probabilidade de que Z seja menor do que -18.33 é praticamente zero. Isso significa que a probabilidade de que a amostra da cidade B apresente mais fumantes em média do que a amostra da cidade A é muito baixa, ou seja, é improvável que isso aconteça.

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