Question

Sabemos que 34% de uma população aprovam o governo do atual presidente da república (dados do IBOPE 03/2019). Sendo sorteadas 9 pessoas desta população é correto afirmar que a probabilidade de encontrarmos no máximo 5 pessoas que aprovam o governo é de: *

59,16%
87,18%
95,33%
76,14%
73,15%

Answer 1

Esta probabilidade é de 95,3%, letra c).

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, se 34% da população aprova o governo, então 66% da população desaprova o governo, para facilitar, iremos utilizar estes valores em forma decimal e não percentual, 0,34 e 0,66. Assim sendo, 0,34 é a probabilidade de se encontrar uma pessoa aleatória que aprova o governo, e 0,66 é a probabilidade de se encontrar uma pessoa aleatória que desaprova o governo.

Agora vamos para o proximo passo, nos vamos selecionar 9 pessoas aleatórias e queremos no maximo 5 pessoas que aprovam o governo, ou seja, queremos a probabilidade de termos 0 pessoas que aprovam, mais a probabilidade de ter 1 pessoa que aprova, mais a probabilidade de ter 2 pessoas que aprovam, mais a de 3, mais a de 4 e mais a de 5.

Além disso, também precisamos multiplicar cada um desses casos pela suas permutação, pois a ordem da população entrevistada, teoricamente não deve importar, então por exemplo no caso 2 dois serem a favor e 7 contra, teriamos que permutar a "palavra" AACCCCCCC, onde A simbolizaria os a favor, e C os contra. Vamos então montar cada um desses casos separados:

0 pessoas aprovam:

0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 = (0,66)^9 = 0,02376.

Permutando CCCCCCCCC = 1

1 . 0,02376. = 0,02376.

Agora para 1 pessoa que aprova:

0,34 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 = 0,34 . (0,66)^8 = 0,01224

Permutando ACCCCCCCC = 9

9 . 0,01224 = 0,11016

2 pessoas:

0,34 . 0,34 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 = (0,34)^2 . (0,66)^7 = 0,006306

Permutando AACCCCCCC = 9!/2!7! = 9.4 = 36

36 . 0,006306 = 0,227016

3 pessoas:

0,34 . 0,34 . 0,34 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 = (0,34)^3 . (0,66)^6 = 0,003248

Permutando AAACCCCCC = 9!/3!6! = 3.4.7 = 84

84 . 0,003248 = 0,272832

4 pessoas:

0,34 . 0,34 . 0,34 . 0,34 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 = (0,34)^4 . (0,66)^5 = 0,001673

Permutando AAAACCCCC = 9!/4!5! = 9.2.7 = 126

126 . 0,001673 = 0,210798

E finalmente, 5 pessoas:

0,34 . 0,34 . 0,34 . 0,34 . 0,34 . 0,66 . 0,66 . 0,66 . 0,66 = (0,34)^5 . (0,66)^4 = 0,0008621

Permutando AAAAACCCC = 9!/4!5! = 9.2.7 = 126

126 . 0,0008621 = 0,1086246

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Agora já temos os valores das probabilidades separadas de cada caso, para sabermos o total, basta somarmos as probabilidades:

0,02376 + 0,11016 + 0,227016 + 0,272832 + 0,210798 + 0,1086246

= 0,95319

Ou seja, esta probabilidade é de 95,3%, letra c).