Question

sabe-se que x2+y2=25 e que xy-12 . nessas condições, qual é o valor da expressão (x+y)2 ?

Answer 1

Sabe-se que x2+y2=25 e que xy-12 . nessas condições, qual é o valor da expressão (x+y)2 ?

SISTEMA
{x² + y² = 25
{xy = - 12

pelo MÉTODO da SUBSTITUIÇÃO

xy = - 12     ( isolar o (x))
  
          12
x = (- ------)  SUBSTITUIR o (x))
           y      


x² + y² = 25
    
     12
(- ------)² + y²=25        ( veja o SINAL) (-)² = +
      y

   12²
+-------- + y² = 25
     y²

   144 
--------- + y² = 25      SOMA co  fração faz mmc = (y²)
      y²




1(144) + y²(y²) = y²(25)       fração com igualdade(=) despreza
------------------------------------  o denominador
                  y²

1(144) + y²(y²) = y²(25)
144  + y⁴ = 25y²   ( igualar a zero)  atenção no sinal
144 + y⁴ - 25y² = 0    arruma a casa
y⁴ - 25y² + 144 = 0    equação BIQUADRADA  ( 4 raizes)

y⁴ - 25y² + 144 = 0        ( SUBSTITUIR ) por
                                      y⁴ =x²
                                      y² = x

assim
y⁴ - 25y² + 144 = 0   fica
x² - 25x + 144 = 0    equação do 2º grau  ( ax² + bx + c = 0)
a = 1
b = - 25
c = 144 
Δ = b² - 4ac
Δ = (-25)² - 4(1)(144)
Δ = + 625 - 576
Δ = + 49 ---------------------------> √Δ = 7  ( porque √49 = 7)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)  ( distintas)
(baskara)

          - b + - √Δ
x = -----------------
               2a


         -(-25) - √49          + 25 - 7            18
x' = ------------------- = ----------------- = ---------- = 9
                2(1)                    2                 2

            -(-25) +√49        + 25 + 7            32
x'' = -------------------- = ---------------- = ------------- =   16
                2(1)                    2                    2


voltando na SUBSTITUIÇÃO
y² = x
x' = 9
y² = 9
y = + - √9       =========>(√9 = 3)
y = + - 3   ( 2 raizes)
e
x'' = 16
y² = x
y² = 16
y = + - √16   ========> (√16 = 4)
y = + - 4 ( 2 raizes)


assim 4 raizes
y' = - 3
y'' = = - 4
y''' = + 3
y'''' = + 4

então  ACHAR o valor de (x))
         -12
X = ------------
         y

      - 12
x = ---------
         -3

         12
x = + ------
          3

x = 4

ASSIM
quando 
X = 4
y = 3

(x + y)²
(4 + 3)²
(7)² = 49  ( resposta)