Question

Sabe-se que x² - 7 = (1 + x²)/(x²-4), com x diferente de -2 e 2. Determine as raízes reais dessa equação no conjunto dos números reais.

Answer 1

Resposta: C = {x é real: x = + - raiz de(3) ou x = + - 3}

Explicação passo-a-passo:

x² - 7 = (1 + x²)/(x² - 4)

Para solucioná-la, utilizaremos uma incógnita auxiliar (substituição de incógnita). Assim sendo, faremos x² = y. Logo:

x² - 7 = (1 + x²)/(x² - 4) e x² = y =>

y - 7 = (1 + y)/(y - 4) =>

(y - 7)(y - 4) = (1 + y) =>

y² - 4y - 7y + 28 = 1 + y =>

y² - 11y - y + 28 - 1 = 0 =>

y² - 12y + 27 = 0 =>

y² - 9y - 3y + 27 = 0 =>

y(y - 9) - 3(y - 9) = 0 =>

(y - 3)(y - 9) = 0 =>

y = 3

ou

y = 9

Sabe-se que x² = y. Com isso:

x² = 3 =>

|x| = raiz de(3) =>

x = + - raiz de(3)

ou

x² = 9 =>

x² = 3² =>

|x| = 3 =>

x = + - 3

Acarretando...

x = + - raiz de(3)

ou

x = + - 3

Continuando...

Conjunto solução = C =>

C = {x é real: x = + - raiz de(3) ou x = + - 3}

Abraços!

Answer 2

Resposta:

     S = { - 3,  - √3,   √3,   3 }

Explicação passo-a-passo:

.  x²  -  7  =  (1  +  x²) / (x²  -  4)        (multiplicando por x² - 4)

.  (x²  -  4) . (x²  -  7)  =  1  +  x²

.  x^4  -  7.x²  -  4.x²  +  28  -  1  -  x²  =  0

.  x^4  -  12.x²  +  27  =  0        (eq  biquadrada)

.

.  fazendo:  x²  =  y,  temos:

.

.  (x²)²  -  12.x²  +  27  =  0

.   y²  -  12.y  +  27  =  0           (eq 2° grau em y)

.  a = 1,     b = - 12,     c = 27

.  Δ  =  b²  -  4 . a . c  =  (- 12)²  - 4 . 1 . 27  

.                                  =  144  -  108  =  36

.  y  =  ( - (-12)  ±  √36 ) / 2.1  =  ( 12  ±  6 ) / 2

.

.  y'  =  (12 + 6)/2  =  18/ 2  =  9....=> x² =  9...=>  x = ±  3

.  y" =  (12  - 6)/2  =  6/2  =  3.......=> x² =  3...=>  x = ± √3

.

(Espero ter colaborado)