Question

Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo ]0, 2Pi[ e que o
triplo da sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual a 3. Então, o cosseno de x é igual a:
​

Answer 1

3 sec x + 2 tan x = 3

3 . 1/ cos x + 2 . sen x/ cos x = 3

(3 + 2 sen x)/ cos x = 3

3 + 2 sen x = 3 cos x

(3 + 2 sen x) ² = (3cos x) ²

9 + 12 sen x + 4 sen ² x = 9 cos ² x

RTF ⇒ 9 cos ² x = 9 - 9sen ² x ⇒

9 + 12 sen x + 4 sen ² x = 9 - 9sen ² x

13 sen ² x + 12 sen x = 0

Delta = 12 ² = 144

x’ = -12 - √144 / 2.13 = -24/26 = -12/13

sen x = -12/13

RTF: (-12/13) ² + cos ² x = 1

cos ² x = 1 - 144/169

cos ² x = 25/169 ⇒ cos x = √(25/169)

cos x = 5/13

Answer 2

Com base nas definições trigonometricas e na relação fundamental temos que cos(x) = 5/13

Razões trigonométricas inversas

No triângulo retângulo além do seno, cosseno e tangente também há as inversas dessas razões e são chamadas de secante(sec), cossecante(cossec) e cotangente(cotg).

• Sen x = cateto oposto a x/hipotenusa
• Cos x = cateto adjacente a x/hipotenusa
• Tg x = cateto oposto a x/cateto adjacente a x
• sec x = 1/cos x
• cossec x = 1/sen x
• cotg x = 1/tg x

Também é válido lembrar a relação fundamental da trigonometria

• Sen²x+Cos²x = 1.

Assim,

$\frac{3}{cos(x)} +\frac{2sen(x)}{cos(x)}=3$  ⇒$3+2sen(x)=3cos(x)$ ⇒$2sen(x)=3cos(x)-3$⇒$4sen^2(x)=9cos^2(x)-18cos(x)+9$⇒$4(1-cos^2(x))=9cos^2(x)-18cos(x)+9$ ⇒$4-4cos^2(x)=9cos^2(x)-18cos(x)+9$ ⇒$13cos^2(x)-18cos(x)+5=0$

Calculando o Δ

• Δ = b² - 4.a.c
• Δ = (-18)² - 4 . 13 . 5
• Δ = 324 - 4. 13 . 5
• Δ = 64

Há 2 raízes reais

Aplicando Bhaskara:

• x = (-b +- √Δ)/2a                  
• x' = (18 + √64)/2.13        x'' = (--18 - √64)/2.13
• x' = 26 / 26                    x'' = 10 / 26 = 5/13
• x' = 1

x ∈ ]0, 2$\pi$[ ⇒ -1 ≤ cos x < 1 ⇒ cos(x) = 5/13

Saiba mais sobre a relação fundamental: https://brainly.com.br/tarefa/25860000

#SPJ2