Question

Sabe-se que (x + 2)8 = C8,0x820 + C8,1x721 + ⋯ + C8,8x028, onde C8,k é a combinação de 8 elementos tomados de k em k, e x > 0. Considerando o lado direito desta equação, para que se tenha o valor da terceira parcela igual ao valor da quinta (da esquerda para a direita), pode-se afirmar que

A) 0 < x < 1/4

B) 3/4 < x < 1

C) x = √2

D) 3 < x < 4

E) x = 2√5

Answer 1

Pode-se afirmar que 3 < x < 4.

Vamos escrever a equação completa: (x + 2)⁸ = C(8,0)x⁸.2⁰ + C(8,1)x⁷.2¹ + C(8,2)x⁶.2² + C(8,3)x⁵.2³ + C(8,4)x⁴.2⁴ + C(8,5)x³.2⁵ + C(8,6)x².2⁶ + C(8,7)x¹.2⁷ + C(8,8)x⁰.2⁸.

Observe que a terceira parcela é C(8,2).x⁶.2² e a quinta parcela é C(8,4).x⁴.2⁴.

A fórmula da combinação é definida por $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Igualando as duas parcelas, obtemos:

$\frac{8!}{2!6!}.x^6.2^2=\frac{8!}{4!4!}.x^4.2^4$

28x⁶.4 = 70x⁴.16

112x⁶ = 1120x⁴

x⁶/x⁴ = 1120/112

x² = 10

x = ±√10.

Como o enunciado nos informa que x é um número maior que zero, então devemos considerar x = √10.

O número √10 é igual a 3,16227766...

Portanto, podemos afirmar que x está entre 3 e 4.

Logo, a alternativa correta é a letra d).