Question

Sabe-se que um faturamento semanal de uma fábrica de sapatos depende do número de horas trabalhadas x e do capital investido y. Supondo que uma mesma fábrica de sapatos fature R$ 500.000. A partir desses dados podemos modelar matematicamente por:

Answer 1

Acredito que devemos derivar implicitamente $y^3x+y^4=500000$.

Sendo assim, quando derivarmos em relação a y, multiplicaremos a derivada por $\frac{dy}{dx}$ e quando derivarmos em relação a x, multiplicaremos a derivada por $\frac{dx}{dx}$.

Note que em $y^3x$ teremos que usar a regra do produto.

Lembrando que: se f(x) = u.v, então f'(x) = u'.v + v.u'.

Daí, temos que:

$3y^2. \frac{dy}{dx}.x + y^3. \frac{dx}{dx} + 4y^3. \frac{dy}{dx} = 0$

Como $\frac{dx}{dx} = 1$, então

$3y^2x \frac{dy}{dx} + y^3 + 4y^3 \frac{dy}{dx} = 0$

Observe que podemos colocar $\frac{dy}{dx}$  em evidência. Logo:

$\frac{dy}{dx}(3y^2x+4y^3) = -y^3$
$\frac{dy}{dx} = - \frac{y^3}{3y^2x + 4y^3}$

Colocando $y^2$ em evidência no denominador:

$\frac{dy}{dx} = - \frac{y^3}{y^2(3x+4y)}$
$\frac{dy}{dx} = - \frac{y}{3x+4y}$

Portanto, a alternativa correta é a letra c)

Answer 2

Resposta Correta é: dy           y
                                 ----- = - -------
                                 dx        4.y+3.x