Question

Sabe-se que ||u||=2, ||v||= 3 e u.v = 3. Determine:

1.1 v . (u +v)

1.2 2u . (-v + 3u)

1.3 (u + v) . (2u - v)

1.4 (2u - v) . (2u + v)

1.5 u . (u ÷ v) - v . ( u - v)

1.6 ||2u + 3v||^2 - ||2u - 3v||^2

Answer 1

Resposta:

1.1 )  12        1.2 ) 18        1.3)  2       1.4 )  7       1.6) 72

$1.5)....\dfrac{4+6v}{v}$

Explicação passo a passo:

Dados:

||u||=2

||v||= 3

u . v = 3

Resolução:

1.1  

v . (u +v)

v . u + v . v              (  u . v  = v . u  propriedade comutativa )

v . u + || v ||²  

3 + 3² = 12

1.2

2 * u . (- v + 3u)

= - 2 * ( u . v ) + 6 * ( u .  u )

= - 2 * (u . v ) + 6 * || u ||²

= - 2 * 3 + 6 * 2²

= - 6 + 24

= 18

1.3 )

(u + v) . (2u - v)

= 2 * (u . u ) - u . v + 2 * ( v . u ) - v . v

= 2 * || u ||² - u . v + 2 * ( u . v ) - || v ||²

= 2 * || u ||² + ( 2 - 1 ) * ( u . v ) - || v ||²

= 2 * || u ||² + ( u . v ) - || v ||²

= 2 * 2² + 3 - 3²

= 8 + 3 - 9

= 11 - 9

= 2

1.4)

(2 * u - v ) . (2 * u + v)

= 4 * ( u . u ) + 2 * ( u . v ) - 2 * (v . u ) - ( v . v )

" 2 * ( u . v )  "   e   " - 2 * (v . u ) "

opostos ( simétricos ) ; cancelam-se na adição

= 4 * || u ||² - || v ||²

= 4 * 2² - 3²

= 16 - 9  

= 7

1.5)

u . (u ÷ v) - v . ( u - v)

Partindo do princípio que o enunciado é este ficaria :

$=u.\dfrac{u}{v}-v.u+v.v$

$=\dfrac{u}{1} .\dfrac{u}{v}-v.u+||v||^2$

$=\dfrac{||u||^2}{v}-v.u+||v||^2$

$=\dfrac{2^2}{v}-3+3^2$

$\dfrac{4}{v}-3+9$

 

$=\dfrac{4}{v}+6$      

$=\dfrac{4}{v}+\dfrac{6}{1}$

Na segunda fração multiplicar numerador e denominador por " vetor v "

$=\dfrac{4}{v}+\dfrac{6*v}{1*v}$

 

$=\dfrac{4}{v}+\dfrac{6v}{v}$

$=\dfrac{4+6v}{v}$

1.6)

||2u + 3v||² - ||2u - 3v||²

Demonstra-se que || u ||² = u . u

Então

||2u + 3v||² = ( 2u + 3v ) . ( 2u + 3v )

e

||2u - 3v||²  = ( 2u - 3v ) . ( 2u - 3 v)

   

Assim 

||2u + 3v||² - ||2u - 3v||²

= ( 2u + 3v ) . ( 2u + 3v ) -  ( 2u - 3v ) . ( 2u - 3 v)

= 2 * || u ||² + 6 * u . v + 6 * u . v + 9 || v ||² -

- ( 2 * || u ||² - 6 * u . v - 6 * v . u + 9 * ||v ||² )

=  2 * || u ||² + 12 * ( u . v ) + 9 || v ||² - ( 2 * || u ||² - 12 * (u . v ) + 9 * || v ||² )

=   2 * || u ||² + 12 * ( u . v ) + 9 * || v ||² - 2 * || u ||² + 12 * ( u . v ) - 9 * || v ||² )

" 2 * || u ||² "  e " - 2 * || u ||² "  opostos ( simétricos ) ; cancelam-se na adição

" 9 * || v ||²  "    e " - 9 * || v ||² "  opostos ( simétricos ) ; cancelam-se na adição

=  12 * (u . v )  +  12 * ( u . v )

 

= 24 * ( u . v )

= 24 * 3  = 72

Fim de cálculos

    

Observação → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores

1ª )   Propriedade comutativa

v . w = w . v

2ª)   Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo

v . v = ||v|| ||v|| = ||v||²

Demonstração desta propriedade que foi usada nesta tarefa.

v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )

Mas o ângulo ( v ^v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.

cos ( 0 º ) = 1

Logo

v . v = || v|| * || v || * 1

v . v = || v|| * || v ||

v . v = || v||²

3ª)   Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )

u . ( v + w ) = u . v + u . w

4ª)  Propriedade associativa

(kv).w = v.(kw) = k(v.w)

5ª)   Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K

|kv| = |k| |v|

6ª)   |u.v| ≤ |u| |v|    (desigualdade de Schwarz)

7ª)   |u+v| ≤ |u| + |v|   (desigualdade triangular)

Bons estudos.    

------------------------------------

( . )  produto interno de vetores      ( * ) multiplicação     ( / ) divisão

||     ||  norma de um vetor