Question

sabe-se que três números inteiros estão em PA se esses números tem por soma 24 e por produto 120 Calcule os três números

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Danielli, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Veja: se esses três números estão em PA, então esses três números poderão ser denominados da seguinte forma:

1º número (a₁):  x-r
2º número (a₂) : x
3º número (a₃): x+r

ii) Como a soma deles três é igual a 24, então teremos que:

x-r + x + x+r = 24 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
3x = 24
x = 24/3
x = 8 <--- Veja que já encontramos o valor de "x".

iii) Agora vamos ao produto entre eles que é igual a 120. Assim, teremos:

(x-r)*(x)*(x+r) = 120 ---- mas como x = 8, já poderemos substituir o "x" por "8", ficando assim:

(8-r)*8*(8+r) = 120 --- note que, na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Então vamos reescrever assim:

8*(8-r)*(8+r) =120 ---- note que (8-r)*(8+r) é o produto da soma pela diferença entre dois números. Lembre-se que (a-b)*(a+b) = a²-b². Então a nossa expressão ficará assim:

8*(8² - r²) = 120  ----- desenvolvendo, teremos:
8*(64 - r²) = 120 ---- efetuando o produto indicado, teremos:
8*64 - 8*r² = 120 ----- ou apenas:
512 - 8r² = 120 ---- passando "512" para o 2º membro, teremos:
- 8r² = 120 - 512 ---- desenvolvendo, ficamos:
-8r² = - 392 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficamos:
8r² = 392 ----- isolando "r²" ficaremos com:
r² = 392/8 ---- note que esta divisão dá exatamente igual a "49". Logo:
r² = 49 ---- isolando "r", teremos:
r = ± √(49) ---- como √(49) = 7, teremos:
r = ± 7 ---- ou seja, teremos que:

r' = - 7
r'' = 7

Note que temos que a razão (r) poderá ser igual a "-7" ou "7".

iv) Agora vamos saber quais são esses números (lembre-se que chamamos esses números assim: a₁ = x-r; a₂ = x; e a₃ = x+r.
Então:

iv.1) Para x = 8 e r = -7, teremos:

a₁ = x-r ----> 8-(-7) = 8+7 = 15
a₂ = x ------------------------> = 8 
a₃ = x+r -----> 8+(-7) = 8-7 = 1

Assim, para x = 8 e r = -7, teríamos uma PA decrescente cujos termos seriam estes: (15; 8; 1) <--- Note que está preservada a soma igual a 24 e o produto igual a 120.

iv.2) Para x = 8 e r = 7, teremos:

a₁ = x - r ----> 8 - 7 = 1
a₂ = x --------------> = 8
a₃ = x+r -----> 8+7 = 15

Assim, para x = 8 e r = 7, teríamos uma PA crescente cujos termos seriam estes: (1; 8; 15) <--- Note que continua preservada a soma igual a 24 e o produto igual a 120.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.