Question

Sabe-se que tres numeros inteiros estaõ em P.A. Se esses numeros tem por soma 24 e por pproduto 120 calcule os tres numeros.

Answer 1

Olá, Marília.

 

Se os três números formam uma PA, então eles podem ser escritos da seguinte forma:

 

${<var>n,n+r,n+2r}</var>$

 

Temos o valor da soma e do produto destes números:

 

$<var>n+n+r+n+2r=24 \Rightarrow 3n+3r=24 \Rightarrow n+r=8\\\\ n(n+r)(n+2r)=120 \Rightarrow n\underbrace{(n+r)}_{=8}(\underbrace{n+r}_{=8}+r)=\\ n \cdot 8 \cdot (8+r)=120 \Rightarrow n(r+8)=15 \Rightarrow n=\frac{15}{r+8}</var>$

 

Substituindo este último valor na primeira equação temos:

 

$<var>\frac{15}{r+8}+r=8 \Rightarrow 15+r^2+8r=8r+64 \Rightarrow r^2-49=0 \Rightarrow r^2=49 \\\\ \Rightarrow r_1=7\ ou\ r_2=-7</var>$

 

Substituindo os valores de r na primeira equação obtemos:

 

$<var>n+r=8 \Rightarrow \begin{cases} n_1+r_1=n_1-7=8 \Rightarrow n_1=15\\n_2+r_2=n_2+7=8 \Rightarrow n_2=1 \end{cases}</var>$

 

Temos, portanto, duas sequencias possíveis de três números que satisfazem as condições do enunciado:

 

$<var>\boxed{\{n_1,n_1+r_1,n_1+2r_1\}=\{15,8,1\}}\ ou\\\\ \boxed{\{n_2,n_2+r_2,n_2+2r_2\}=\{1,8,15\}}</var>$

 

Os números, observe, são iguais. Altera-se, apenas, nas sequências, a sua ordem.

 

Os números são, portanto, 1, 8 e 15.

Answer 2

Sendo PA  de 3 elementos convém   ( X-r , X , X+r  ) 

 

como a soma dá 24

 

X-r + X + X+r  = 24

 

X + X + X   = 24

 

3X = 24

 

X = 8

 

 

 Agora vamos para o produto

 

(X-r )( X) ( X+r) = 120  ..tem um produto da soma pela diferença = diferença de quadrados

 

X ( X^2 - r^2) = 120   substituindo  X por 8

 

8 ( 8^2 - r^2) = 120

 

8^2 - r^2 = 120/8

 

64 - r^2 = 15

 

64 -15 =  r^2

 

49 = r^2 

 

+7 = r    ou r = -7

 

 

 

Os números são  (     8-7      , 8  ,     8+7 )   >>>>>  (   1  ,   8   ,   15   )