Question

Sabe-se que três números estão em P.A. Se a soma entre eles é igual a 24, e o produto entre eles é igual a 120. Qual é o maior dos três números? * 10 pontos a) 7 b) 10 c) 15 d)18 e)13

Answer 1

O maior dos três números é o: c) 15.

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Adotando-se a₁, a₂, e a₃ aos números desconhecidos, teremos, segundo o enunciado, que  

$\displaystyle\Large\sf (a_1,~a_2,~a_3)\longleftarrow a_1+a_2+a_3=24~(i)~e~a_1\:\!a_2\:\!a_3=120~(ii).$

A equação (i) trata-se do somatório destes números. É sabido que a soma dos termos (Sₙ) de uma P.A. pode ser obtida por intermédio da formula:

               $\displaystyle\Large\text{ \sf S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n~~~~\left[\begin{gathered}\sf a_1:\text{\sf primeiro termo;}\\\sf a_n:\text{\sf e-n \sf\acute{e} simo termo;}\\\sf n:\text{\sf n \sf\acute{u} mero de termos.}\end{gathered}\right]. }$

Assim,

                      $\displaystyle\Large\begin{gathered}\sf a_1+a_2+a_3=24\implies \dfrac{a_1+a_3}{2}\cdot3=24\\\\\sf a_1+a_3=2\cdot\dfrac{24}{3}\\\\\sf a_1+a_3=2\cdot8\\\\\sf a_1+a_3=16~~(iii)\\\\\sf a_1=16-a_3~~(iv).\end{gathered}$

Substituindo (iii) na equação (i), encontra-se

                                                 $\displaystyle\Large\begin{gathered}\sf a_2+\underbrace{\sf a_1+a_3}_{16}=24\\\\\sf a_2=24-16\\\\\sf a_2=8~(v).\end{gathered}$

Veja que já encontramos o número central. Substituindo, agora, (iv) e (v) na equação (ii), há de se encontrar

                                         $\displaystyle\Large\begin{gathered}\sf a_1a_2a_3=120\\\\\sf (16-a_3)8a_3=120\\\\\sf(16-a_3)a_3=\dfrac{120}{8}\\\\\sf 16a_3-a_3^2=15\\\\\sf 16a_3-a_3^2-15=0,\end{gathered}$

uma equação do 2º grau. Para resolvê-la, você pode aplicar a formula quadrática ou fazer por soma e produto, fatoração, etc. Estarei fatorando por agrupamento:

                                   $\displaystyle\Large\begin{gathered}\sf a_3-a_3^2-15+15a_3=0\\\\\sf a_3(1-a_3)-15(1-a_3)=0\\\\\sf (a_3-15)(1-a_3)=0\\\\\sf a_3-15=0\vee 1-a_3=0\\\\\sf a_3=15\vee a_3=1.\end{gathered}$

Sendo assim, o último termo pode ser igual a 15 ou igual a 1, isso vai depender da razão “r”. Se r > 0, a P.A. será crescente e, portanto, a₃ será o maior termo; se r < 0, a P.A. será decrescente e, portanto, a₃ será o menor termo. Em suma:

$\displaystyle\Large\begin{gathered}\sf (a_1,~a_2,~a_3)=(1,~8,~15),~se~r=7;\\\\\sf (a_1,~a_2,~a_3)=(15,~8,~1),~se~r=-\,7.\end{gathered}$

Veja que 15 é o maior valor para ambos os casos. Logo, a alternativa c é a correta.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.