Question

Sabe-se que sen(x) + sen(y) = a e cos(x) + cos(y) = b. Se (a.b) é diferente de zero, escreva sen(x+y) em função de a e b.

Resolução completa, por favor! =^.^=

Answer 1

Sabemos que:

$\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin( \frac{x + y}{2} ) \cos( \frac{x - y}{2} ) = a \\ \\ e \\ \\ \cos(x) + \cos(y) = 2 \cos( \frac{x + y}{2} ) \cos( \frac{x - y}{2} ) = b$


Como a • b é diferente de zero, podemos dividir a por b. Daí, temos que:


$\frac{ \sin( \frac{x + y}{2} ) }{ \cos( \frac{x + y}{2} ) } = \frac{a}{b}$


ou seja,

$\tan( \frac{x + y}{2} ) = \frac{a}{b}$


Lembrando que:

$\sin(x) = \frac{2 \tan( \frac{x}{2} ) }{1 + \ {tan}^{2} ( \frac{x}{2} ) }$


decorre que


$\sin( x + y ) = \frac{2 \tan( \frac{x + y}{2} ) }{1 + {tan}^{2}( \frac{x + y}{2} )} \\ \sin(x + y) = \frac{2 \times \frac{a}{b} }{1 + {( \frac{a}{b} )}^{2} } \\ \sin(x + y) = \frac{2 \times \frac{a}{b} }{1 + \frac{ {a}^{2} }{ {b}^{2} } } \\ \sin(x + y) = \frac{2 \times \frac{a}{b} }{ \frac{ {a}^{2} + {b}^{2} }{ {b}^{2} } } \\ \sin( x + y) = 2 \times \frac{a}{b} \times \frac{ {b}^{2} }{ {a}^{2} + {b}^{2} } \\ \sin(x + y) = \frac{2ab}{ {a}^{2} + {b}^{2} }$


Isto é, sen(x + y) em função de a e b é:


$\sin(x + y) = \frac{2ab}{ {a}^{2} + {b}^{2} }$