Question

Sabe-se que os pontos A(0,0), B(1,4) e C(3,6) são vértices consecutivos do paralelograma ABCD. Nessas condições, as coordenadas do vértice D e o comprimento da diagonal DB são respectivamente:
a) (2, -1) e $\sqrt2$  b) (2, -2) e $\sqrt3$  c) (2,2) e 2$\sqrt2$

d) (2,2) e $\sqrt5$  e) (2,2) e 5

Answer 1

Sendo A(0,0), B(1,4), C(3,6), considere que D(x,y).

Como ABCD é um paralelogramo, então: d(A,B) = d(CD) e d(B,C) = d(A,D).

Calculando d(B,C) = d(A,D):

$\sqrt{(3-1)^2+(6-4)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{x^2+y^2}$

x² + y² = 8 (*)

Calculando d(A,B) = d(C,D):

$\sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{(x-3)^2+(y-6)^2}$

$\sqrt{17} = \sqrt{x^2-6x+9+y^2-12y+36}$

17 = x² - 6x + 9 + y² - 12y + 36

De (*), temos que:

17 = 8 - 6x + 45 - 12y

6x + 12y = 36

x + 2y = 6

x = 6 - 2y (**)

Substituindo (**) em (*):

8 = (6 - 2y)² + y²

8 = 36 - 24y + 4y² + y²

5y² - 24y + 28 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = (-24)² - 4.5.28

Δ = 576 - 560

Δ = 16

$y = \frac{24 +- \sqrt{16}}{2.5}$

$y = \frac{24+-4}{10}$

$y' = \frac{24+4}{10} = \frac{14}{5}$

$y'' = \frac{24-4}{10} = 2$

Podemos descartar y', pois ao construir o ponto D com a ordenada igual a y' não obteremos um paralelogramo.

Portanto, y = 2.

Logo, x + 2.2 = 6 ∴ x = 2

O ponto D é (2,2).

O comprimento da diagonal BD é:

$d(B,D) = \sqrt{(2-1)^2+(2-4)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Assim, a alternativa correta é a letra d).