Question

Sabe-se que os pontos ( -1, 3 ) e ( 2, 0 ) pertencem ao gráfico da função f, afim, dada por f(x) = ax + b, com a e b constantes reais. Leia as afirmações e assinale a alternativa correta.



I. O gráfico de f passa pela origem


II. f é decrescente


III. f (-2) = 0


IV. a + b = -1


V. f(0) < 0

ALTERNATIVAS
Somente I esta correta.
Somente I e II estão corretas.
Somente II está correta.
Somente I, III, IV e V estão corretas.
Todas estão corretas.

Answer 1

I) A função do tipo $f(x)=ax+b$ nunca passa pela origem, pois é uma função afim (do 1° grau ou linear). Se ela passasse pela origem, teríamos uma função do tipo $f(x)=b$, o que não caracteriza uma função afim. Portanto, alternativa incorreta.

II) Pelas coordenadas, A e B, iremos descobrir se a reta é crescente ou decrescente. Basta acharmos o coeficiente angular, "m".

$A(-1,3)\ B(2,0)\\ a= \frac{(0-(-1))}{(2-3)}= \frac{1}{-1}=-1$

Como o coeficiente angular,"m", é negativo, temos uma reta decrescente. Portanto, a alternativa II está correta.

III) Nesta alternativa precisamos achar o valor de B para provarmos a premissa. Então temos:

$A(-1,3) -\ \textgreater \ f'(x)=ax+b=\ \textgreater \ 3=-1a+b\ (I)\\B(2,0)-\ \textgreater \ f''(x)=ax+b=\ \textgreater \ 0=2a+b\ (II)\\\\ \left \{ {{-a+b=3\ (I)} \atop {2a+b=0\ (II)}} \right. \\\\b=3+a\ (III)\\\\(III)-\ \textgreater \ (II)=\ \textgreater \ 2a+b=0=\ \textgreater \ 2a+3+a=0=\ \textgreater \ a=-1\\\\a-\ \textgreater \ (III)=\ \textgreater \ b=3+a=\ \textgreater \ b=3-1=\ \textgreater \ b=2\\\\f(x)=ax+b=\ \textgreater \ f(-2)=ax+b=\ \textgreater \ f(-2)=-1.(-2)+2=\ \textgreater \ 0=4\\0=4\ (ABSURDO!)$

IV) Sabemos os valores de "a" e "b", portanto, podemos provar esta afirmativa.

a+b=-1 => -1+2=-1 => 1=-1 (ABSURDO)

V) $f(x)\ \textless \ ax+b= \textgreater \ f(0)\ \textless \ ax+b=\ \textgreater \ f(0)\ \textless \ -1.(0)+2=\ \textgreater \ f(0)\ \textless \ 2$

Portanto, alternativa incorreta.

Logo, apenas a alternativa II é correta.