Question

Sabe-se que o produto de dois numeros naturais a e b é 90. Se M.D.C.(a, b) = 3,
qual é o valor do M.M.C.(a, b)? Quais são os possíveis números a e b?

Answer 1

Olá!

Para resolvermos esse problema precisaremos saber a seguinte propriedade:

$a \cdot b = \color{Red} mmc(a, \ b) \color{Black} \cdot \color{Orange} mdc(a, \ b)$

Isso quer dizer que o produto dos números $\color{Red} a$ e $\color{Blue} b$ é igual ao produto do MMC de $\color{Red} a$ e $\color{Blue} b$ e o MDC de $\color{Red} a$ e $\color{Blue} b$.

Sabendo que $a \cdot b = 90$ e que $mdc(a, \ b) = 3$, podemos afirmar que:

$a \cdot b = \color{Red} mmc(a, \ b) \color{Black} \cdot \color{Orange} mdc(a, \ b)$

$90 = \color{Red} mmc(a, \ b) \color{Black} \cdot \color{Orange} 3$

$\frac{90}{\color{Orange} 3} \color{Black} = \color{Red} mmc(a, \ b)$

$\fbox{\fbox{ \color{Red} mmc(a, \ b) \color{Black} = 30 }}$

→ O MMC de $\color{Red} a$ e $\color{Blue} b$ é 30.

-------------------------------

→ Sabendo disso, podemos afirmar que a e b devem assumir o valor de algum divisor de 30, de forma que $a \cdot b = 30$. Note que teremos um fator correspondente, ou seja, se $\color{Red} a$ for igual a um dos divisores de 30, $\color{Blue} b$ deve assumir o valor de um número específico para que o produto de ambos resulte em 30.

Os divisores de 30 são:

$D(30) = \{ 1, \, 2, \, 3, \, 5, \, 6, \, 10, \, 15, \, 30 \}$

O fator correspondente do número é equidistante dentro do conjunto, ou seja:

• se $\color{Red} a \color{Black} = 1$, então $\color{Blue} b \color{Black} = 30$

• se $\color{Red} a \color{Black} = 2$, então $\color{Blue} b \color{Black} = 15$

• se $\color{Red} a \color{Black} = 3$, então $\color{Blue} b \color{Black} = 10$

• se $\color{Red} a \color{Black} = 5$, então $\color{Blue} b \color{Black} = 6$

--------------------

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)