Question

Sabe-se que o polinomio p(x)=x³-6x²+mx+n é divisivel por (x+1).(x+2). Determine os valores de m e n.

Answer 1

Um polinômio $p(x)$ é divisível por $d(x)=x-a$ se e somente se $x=a$ é uma raíz do polinômio $p(x)$ (ou, equivalentemente, $p(a)=0$)

Se $p(x)$ é divisível por $(x+1)(x+2)$, então, em particular, $p(x)$ é divisível por $(x+1)=(x-[-1])$ e $(x+2)=(x-[-2])$

Portanto, $x=-1$ e $x=-2$ são raízes de $p$, isto é, $p(-1)=p(-2)=0$
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Temos que

$p(-1)=0~~\Longleftrightarrow\\\\(-1)^{3}-6(-1)^{2}+m(-1)+n=0~~\Longleftrightarrow\\\\-1-6-m+n=0~~\Longleftrightarrow\\\\-7-m+n=0~~\Longleftrightarrow\\\\\boxed{-m+n=7}$

Além disso

$p(-2)=0~\Longleftrightarrow\\\\(-2)^{3}-6(-2)^{2}+m(-2)+n=0~\Longleftrightarrow\\\\-8-6\cdot4-2m+n=0~\Longleftrightarrow\\\\-8-24-2m+n=0~\Longleftrightarrow\\\\-32-2m+n=0~\Longleftrightarrow\\\\\boxed{-2m+n=32}$

Temos, então, que resolver o seguinte sistema:

$\begin{cases}-m+n=7\\-2m+n=32\end{cases}$

Subtraindo a primeira equação da segunda:

$(-m+n)-(-2m+n)=7-32\\\\-m+n+2m-n=-25\\\\\boxed{\boxed{m=-25}}$

Substituindo $m=-25$ na primeira equação:

$-m+n=7~\Longleftrightarrow\\\\n=7+m~\Longleftrightarrow\\\\n=7-25~\Longleftrightarrow\\\\\boxed{\boxed{n=-18}}$