Question

Sabe-se que o polinômio p(x) =x^3+mx^2+nx+p anula-se para x=2, x=1 e x=-1. Sabemos também que o polinômio q(x) =x^2-ax+1 é divisível por x-1. Determine o resto da divisão de p(x) por q(x).

Answer 1

Observe que qualquer polinômio W de grau n pode ser escrito na forma

W(x) = k(x - a1)(x - a2)...(x - an)

Onde a1, a2, ..., an são as n raízes de W, e k um número complexo diferente de 0. Sendo assim, podemos escrever o polinômio P de tal forma:

P(x) = x³ + mx² + nx + p = (x - 2)(x - 1)(x + 1)

Agora, sabendo que Q(x) é divisível por x - 1, podemos afirmar que x = 1 é uma raiz de Q. Assim, por girard, temos que a outra raiz a2 pode ser descoberta por (a2.1) = 1 => a2 = 1. Sendo assim, Q(x) = (x - 1)(x - 1). Agora, efetuemos a divisão:

P(x)/Q(x) = (x - 2)(x - 1)(x + 1)/(x - 1)² = (x - 2)(x + 1)/(x - 1) = (x² - x - 2)/(x - 1)

Não é realmente necessário armar a conta, podemos manipular a expressão:

(x² - x - 2)/(x - 1) = (x² - x)/(x - 1) - 2/(x - 1) = x(x - 1)/(x - 1) - 2/(x - 1) = x - 2/(x - 1)

Assim, o quociente é x e o resto é -2.