Question

Sabe-se que o polinômio f = x^4 + 3x³ - 3x² - 11x - 6 admite a raiz -1 com multiplicidade 2 e que outra de sua raízes é igual ao módulo de um número complexo z cuja parte imaginária é igual a -1. A forma trigonométrica de z pode ser igual a

a)2.(cos 11pi/6 + i.sen 11pi/6)
b) 2.(cos 5pi/6 + i.sen 5pi/6)
c) 2.(cos 5pi/3 + i.sen 5pi/3)
d) 2.(cos 4pi/3 + i.sen 4pi/3)
e) 2.(cos 7pi/4 + i.sen 7pi/4)

Answer 1

x⁴ + 3x³ - 3x² - 11x - 6 Ⅰ x + 1
- x⁴ - x³ → → → → → → → x³ + 2x² - 5x - 6
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
0 + 2x³ - 3x²
0 - 2x³ - 2x²
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
0 + 0 - 5x² - 11x
0 + 0 + 5x² + 5x
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
0 + 0 + 0 - 6x - 6
0 + 0 + 0 + 6x + 6
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
(0)

x³ + 2x² - 5x - 6 Ⅰ x + 1
- x³ - x² → → → → x² + x - 6
‾‾‾‾‾‾‾‾‾
0 + x² - 5x
0 - x² - x
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
0 + 0 - 6x - 6
0 + 0 + 6x + 6
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
(0)

agora vamos descobrir as outras duas raizes

x² + x - 6 = 0

x1 + x2 = - b/a = - 1
x1.x2 = c/a = - 6

dois numeros que somado dar - 1 e multplicado dar - 6

logicamente - 3 e 2

logo as outras duas raizes sao - 3 e 2

bom, ele nos diz que outra de suas raizes é o igual ao mudulo de um numero complexo Z

modulo é sempre positivo, so pode se 2

ⅠzⅠ² = a² + b²
2² = a² + (- 1)²
a² = 4 - 1
a = √3

vamos passar para a forma trigonometrica

cosθ = a/ⅠzⅠ
cosθ = √3/2

lembrando a tabela, o angulo de 30, 330 tambem vale √3/2

entao:
30 em radianos vale π/6
330 em radianos vale 11π/6

senθ = b/ⅠzⅠ
senθ = - 1/2

seno 330 vale - 1/2
em radianos vale 11π/6

o numero complexo em sua forma trigonometrica é:

z = 2(cos11π/6 + i.sen11π/6)

R.; Letra A