Question

sabe-se que o determinante da matriz M vale 2 e o determinante da matriz N Vale 8 se m e n são matrizes de ordem 2, o valor do det [(2. MT).(4.N-1)] é:
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Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.

Sejam as matrizes $M$ e $N$, de ordem $2$. Sabemos que $\det(M)=2$ e $\det(N)=8$.

Devemos determinar o valor de $\det((2\cdot M^T) \cdot(4\cdot N^{-1}))$

Para isso, utilizaremos quatro propriedades:

• O determinante do produto entre duas ou mais matrizes é calculado pelo Teorema de Binet: $\boxed{\bold{\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)}}$.
• O determinante do produto entre uma constante e uma matriz de ordem $n$ é dado por: $\boxed{\bold{\det(k\cdot A_{n\times n})=k^n\cdot\det(A)}}$.
• O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original: $\boxed{\bold{\det(A^T)=\det(A)}}$
• O determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original: $\boxed{\bold{\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}}}$.

Assim, fazemos:

$\det(8\cdot M^T\cdot N^{-1})$

Visto que as matrizes são de ordem $2$, aplique a segunda propriedade:

$8^2\cdot\det(M^T\cdot N^{-1})\\\\\\ 64\cdot\det(M^T\cdot N^{-1})$

Aplique o Teorema de Binet

$64\cdot\det(M^T)\cdot\det(N^{-1})$

Aplique a terceira e quarta propriedades

$64\cdot\det(M)\cdot\dfrac{1}{\det(N)}$

Substitua os valores cedidos pelo enunciado

$64\cdot2\cdot\dfrac{1}{8}$

Multiplique os valores

$16$

Este é o valor desta expressão.