Question

Sabe-se que o custo C(x) = 0,03x4 - 0,01x2 + 40x + 800, em reais, para produzir x unidades de um produto é dado pela função. A função receita para este produto é dada por R(x) = - 0,01x2 + 80x. Com base nesses dados, determine o que se pede em cada item.
a) Apresente a função custo marginal.
b) Apresente a função receita marginal.
c) Apresente a função lucro marginal.
d) Qual a quantidade que deve ser vendida para que tenhamos receita máxima?

Answer 1

Utilizando definições de função e derivada, temos que:

a) $C'(x)=0,12x^3-0,02x+40$.

b) $R'(x)=-0,02x+80$.

c) $L'(x)=-0,12x^3+40$.

d) 4000 unidades.

Explicação passo-a-passo:

Então temos as seguintes funções receita e custo:

$R(x)=-0,01x^2+80x$

$C(x)=0,03x^4-0,01x^2+40x+800$

E sabemos que a função lucro é receita menos custo ou seja:

$L(x)=R(x)-C(x)=-0,03x^4+40x-800$

E com isso podemos encontrar as funções marginais destas, pois receita, custo e lucro marginal são as derivadas das funções em relação a produção, ou seja, em relação a x:

$R(x)=-0,01x^2+80x$

$C(x)=0,03x^4-0,01x^2+40x+800$

$L(x)=-0,03x^4+40x-800$

Derivando:

$R'(x)=-0,02x+80$

$C'(x)=0,12x^3-0,02x+40$

$L'(x)=-0,12x^3+40$

E com isso podemos responder as perguntas:

a) Apresente a função custo marginal.

Como foi encontrado:

$C'(x)=0,12x^3-0,02x+40$

b) Apresente a função receita marginal.

Como foi encontrado:

$R'(x)=-0,02x+80$

c) Apresente a função lucro marginal.

Como foi encontrado:

$L'(x)=-0,12x^3+40$

d) Qual a quantidade que deve ser vendida para que tenhamos receita máxima?

Para termos o maximo de alguma função basta que sua derivada seja igual a 0 e ela seja crescente antes e decrescente deposi deste ponto.

Sabemos que a função receita é uma função de parabola voltada para baixo, pois o coeficiente quadrado tem sina lnegativo, logo, ela só possui ponto de maximo, então pegando sua derivada e igualando a 0, saberemos seu ponto maximo:

$R'(x)=-0,02x+80=0$

$0,02x=80$

$x=\frac{80}{0,02}$

$x=4 000$

Assim temos que esta receita é maximo quando for produzido 4 000 unidades.