Question

Sabe-se que o custo C para produzir X unidades de um certo produto e dado por C=X elevado a 2 =80X+3000, nessas condições calcule. A)Quantidades de unidades produzidos para que o custo seja mínimo? B)O valor mínimo do custo?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vanessa, que esta questão também tem uma resolução simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Sabe-se que o custo C(x) para produzir "x' unidades de um certo produto é dado por: 

C(x) = x² - 80x + 3.000. 

ii) A partir da questão acima, pede-se para determinar: 

a) A quantidade de unidades "x" produzidas para que o custo seja mínimo
e 
b) O valor desse custo mínimo. 

a) Veja: a quantidade mínima será dada pelo "x" do vértice da parábola da equação da sua questão. Note que como o termo "a" (que é o coeficiente de x²) é positivo, então o gráfico da parábola terá a concavidade voltada pra cima , o que caracteriza um ponto de mínimo. 
E o "x" do vértice (xv) de uma parábola é dado por: 

xv = -b/2a ---- substituindo-se "b" por "-80" e "a" por "1", teremos [vide coeficientes que são: a = 1 (é o coeficiente de x²); b = -80 (é o coeficiente de x); c = 3.000 (é o coeficiente do termo independente)]: 

xv = -(-80)/2*1 
xv = 80/2 
xv = 40 unidades <--- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja, o custo mínimo será dado quando forem produzidas 40 unidades.


b) Agora vamos para o valor desse custo mínimo. Há duas formas de você chegar ao valor do custo mínimo: uma delas é substituir o "x" da equação pelo "xv", que já vimos que é igual a 40. Assim, fazendo isso, teremos: 

f(40) = 40² - 80*40 + 3.000
f(40) = 1.600 -3.200 + 3.000 ---- resolvendo esta soma algébrica, temos: 
f(40) = 1.400 <--- Este será o valor do custo mínimo. Ou seja, o valor do custo mínimo será de R$ 1.400,00.

A outra forma de chegar ao custo mínimo é aplicar a fórmula do "y" do vértice (yv), que é dado assim: 

yv = - (b²-4ac)/4a ---- fazendo as devidas substituições (vide coeficientes):
yv = - (-80)² - 4*1*3.000)/4*1 
yv = - (6.400 - 12.000)/4
yv = - (-5.600)/4 ---- retirando-se os parênteses, ficaremos com:
yv = 5.600/4 ---- note que esta divisão dá exatamente "1.400". Logo: 
yv = 1.400 <--- Veja que a resposta é a mesma. Ou seja, o valor do custo mínimo poderá ser encontrado por essas duas formas.

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.