Question

Sabe-se que o (Césio 137) se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. Sua meiavida, isto é, o tempo necessário para 50% da massa inicialmente presente se desintegrar, é da ordem de 30 anos. Qual é a porcentagem que se desintegra em um ano? : A.( ) 0,24%. B.( ) 2,29%. C.( ) 92,50%. D.( ) 97,71%.

Answer 1

Utilizando equações diferenciais e noções basicas de funções, temos que apos 1 ano, ainda tem 97,7% de Mo, logo, perdemos somente 2,3%. Letra B.

Explicação passo-a-passo:

Se a taxa de decaimento depende da massa, então temos que:

$\frac{dm}{dt}=-\alpha.m$

Integrando por separação de variaveis, temos que:

$\frac{dm}{m}=-\alpha.dt$

$ln(m)=-\alpha.t+C$

Onde C é uma constante de integração.

Invertendo o Ln com exponencial:

$m=e^{-\alpha.t+C}$

$m=e^{-\alpha.t}.e^{C}$

Como exponencial de C também é uma constante vou chamar esta de Mo:

$m=M_0.e^{-\alpha.t}$

Assim esta é a função de decaimente da particula.

Agora sabemos que ela é igual a metade do inicio depois de 30 anos, ou seja:

$\frac{M_0}{2}=M_0.e^{-\alpha.30}$

$\frac{1}{2}=e^{-30\alpha}$

$2^{-1}=e^{-\alpha.t}$

Aplicando Ln dos dois lados:

$-Ln(2)=-30\alpha$

Substituindo Ln de 2 pelo seu valor, temos:

$-0,69=-30\alpha$

$\alpha=0,023$

Assim sabendo esta constante, sabemos a função completa:

$m=M_0.e^{-0,023.t}$

Então substituindo agora t por 1 ano:

$m=M_0.e^{-0,023}$

$m=M_0.0,977$

Ou seja, apos 1 ano, ainda tem 97,7% de Mo, logo, perdemos somente 2,3%. Letra B.