Question

Sabe-se que numa pa temos: a2+a5=21 e a4+a10=32. Determine: a) A razão desta pa. b) A soma dos 100 primeiros termos desta pa

Answer 1

Resposta:

a) 11/7

b) 9550/7

Explicação passo-a-passo:

$a2 + a5 = 21$

Termos Gerais de a2 e a5:

$a2 = a1 + r \\ a5 = a1 + 4r$

Somando membro a membro, temos:

$a2 + a5 = a1 + a1 + r + 4r \\ 2a1 + 5r = 21$

Analogamente, faremos para a4 e a10:

$a4 = a1 + 3r \\ a10 = a1 + 9r \\ a4 + a10 = a1 + a1 + 3r + 9r \\ 2a1 + 12r = 32 \\ a1 + 6r = 16$

Agora, precisamos resolver o sistema em função de a1 e r:

$2a1 + 5r = 21 \\ a1 + 6r = 16 \\ a1 = 16 - 6r \\ 2(16 - 6r) + 5r = 21 \\ 32 - 12r + 5r = 21 \\ - 12r + 5r = 21 - 32 \\ - 7r = - 11 \\ 7r = 11 \\ r = \frac{11}{7} \\ \\ a1 = 16 - 6r \\ a1 = 16 - 6. \frac{11}{7} \\ a1 = 16 - \frac{66}{7} \\ a1 = \frac{112 - 66}{7} \\ a1 = \frac{46}{7}$

Cálculo do 100° termo:

$an = a1 + (n - 1).r \\ a100 = \frac{46}{7} + (100 - 1). \frac{11}{7} \\ a100 = \frac{46}{7} + 99. \frac{11}{7} \\ a100 = \frac{46}{7} + \frac{99}{7} \\ a100 = \frac{145}{7}$

Soma dos 100 primeiros termos:

$sn = \frac{(a1 + an).n}{2} \\ s100 = \frac{( \frac{46}{7} + \frac{145}{7} ).100}{2} \\ s100 = 50.( \frac{46 + 145}{7} ) \\ s100 = 50. \frac{191}{7} \\ s100 = \frac{9550}{7}$