Sabe-se que, na equação x3
+ 4x2+ x – 6 = 0, uma das raízes é igual a soma das
outras duas. Quais são as outras raízes?
Soluções para a tarefa
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Vamos lá.
Veja, Samaralacerda, que a resolução é mais ou menos simples.
Tem-se que uma das raízes da função abaixo é igual à soma das outras duas:
x³ + 4x² + x - 6 = 0
Com base nisso, pede-se o valor das raízes dessa equação.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Note que uma função do 3º grau, da forma: ax³ + bx² + cx + d = 0 , com raízes iguais a k', k'' e k''', tem a seguinte relação quanto à soma de suas raízes:
k' + k'' + k''' = -b/a
ii) Considerando que a equação da sua questão é esta: x³ + 4x² + x - 6 = 0, então a soma das três raízes será dada por:
k' + k'' + k''' = -4/1
k' + k'' + k''' = - 4 . (I)
iii) Como o valor de uma das raízes é igual à soma das outras duas, então vamos supor que a raiz k' seja igual à soma de k'' + k'''. Assim teremos:
k' = k'' + k''' . (II)
iv) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos k' por (k''+k'''). A expressão (I) é esta:
k' + k'' + k''' = - 4 ---- substituindo-se k' por (k''+k'''), teremos:
k''+k''' + k'' + k''' = - 4 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficamos:
2k'' + 2k''' = - 4 ---- dividindo-se ambos os membros por "2", iremos ficar apenas com:
k'' + k''' = - 2
Ora, mas como já vimos que k' = k'' + k''', então já podemos concluir que o valor da primeira raiz (k') será igual a "-2", ou seja, já temos que:
k' = - 2 <--- Este é o valor da primeira raiz (k') da equação da sua questão.
v) Agora vamos efetuar a divisão da equação dada [x³+4x²+x-6 = 0] por x menos a raiz já encontrada, que chamaremos de uma outra função e que a denominaremos de d(x) = x - (-2) ---> d(x) = x + 2.
Como (-2) é uma das raízes, então a divisão da equação dada por (x+2) deverá deixar resto zero, pois toda raiz zera a equação da qual ela é raiz.
Assim, efetuando essa divisão pelo método tradicional, teremos:
x³ + 4x² + x - 6 |_x + 2_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . x² + 2x - 3 <--- quociente
-x³-2x²
----------------------
0 +2x² + x - 6
..- 2x² - 4x
------------------------
......0 - 3x - 6
........+ 3x +6
------------------------
...........0....0 <--- Resto. Veja que o resto tinha que ser zero mesmo, o que confirma que a "-2" é realmente uma das raízes do polinômio dado.
vi) Agora vamos tomar o quociente que encontramos (x² + 2x - 3) e vamos encontrar suas raízes, que serão as outras duas raízes da equação originalmente dada. Assim, fazendo o quociente acima igual a zero para encontrar suas raízes, teremos:
x² + 2x - 3 = 0 ---- note que se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:
x' = -3
x'' = 1
vii) Assim, resumindo, temos que as três raízes da equação da sua questão serão estas (colocando-as em ordem crescente):
x' = - 3
x'' = -2 (que foi a que encontramos inicialmente)
x''' = 1
Nota: tivemos que encontrar a raiz inicial (x = - 2) para, a partir dela, encontrarmos as outras duas, e considerando que a sua questão pede apenas o valor das outras duas raízes, então a resposta será:
x' = - 3; e x''' = 1 <--- Esta é a resposta.
Observação: a propósito, note que "-2" é realmente igual à soma de: -3+1 = -2, ou seja, "-2" é realmente igual à soma das outras duas raízes
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Samaralacerda, que a resolução é mais ou menos simples.
Tem-se que uma das raízes da função abaixo é igual à soma das outras duas:
x³ + 4x² + x - 6 = 0
Com base nisso, pede-se o valor das raízes dessa equação.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Note que uma função do 3º grau, da forma: ax³ + bx² + cx + d = 0 , com raízes iguais a k', k'' e k''', tem a seguinte relação quanto à soma de suas raízes:
k' + k'' + k''' = -b/a
ii) Considerando que a equação da sua questão é esta: x³ + 4x² + x - 6 = 0, então a soma das três raízes será dada por:
k' + k'' + k''' = -4/1
k' + k'' + k''' = - 4 . (I)
iii) Como o valor de uma das raízes é igual à soma das outras duas, então vamos supor que a raiz k' seja igual à soma de k'' + k'''. Assim teremos:
k' = k'' + k''' . (II)
iv) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos k' por (k''+k'''). A expressão (I) é esta:
k' + k'' + k''' = - 4 ---- substituindo-se k' por (k''+k'''), teremos:
k''+k''' + k'' + k''' = - 4 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficamos:
2k'' + 2k''' = - 4 ---- dividindo-se ambos os membros por "2", iremos ficar apenas com:
k'' + k''' = - 2
Ora, mas como já vimos que k' = k'' + k''', então já podemos concluir que o valor da primeira raiz (k') será igual a "-2", ou seja, já temos que:
k' = - 2 <--- Este é o valor da primeira raiz (k') da equação da sua questão.
v) Agora vamos efetuar a divisão da equação dada [x³+4x²+x-6 = 0] por x menos a raiz já encontrada, que chamaremos de uma outra função e que a denominaremos de d(x) = x - (-2) ---> d(x) = x + 2.
Como (-2) é uma das raízes, então a divisão da equação dada por (x+2) deverá deixar resto zero, pois toda raiz zera a equação da qual ela é raiz.
Assim, efetuando essa divisão pelo método tradicional, teremos:
x³ + 4x² + x - 6 |_x + 2_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . x² + 2x - 3 <--- quociente
-x³-2x²
----------------------
0 +2x² + x - 6
..- 2x² - 4x
------------------------
......0 - 3x - 6
........+ 3x +6
------------------------
...........0....0 <--- Resto. Veja que o resto tinha que ser zero mesmo, o que confirma que a "-2" é realmente uma das raízes do polinômio dado.
vi) Agora vamos tomar o quociente que encontramos (x² + 2x - 3) e vamos encontrar suas raízes, que serão as outras duas raízes da equação originalmente dada. Assim, fazendo o quociente acima igual a zero para encontrar suas raízes, teremos:
x² + 2x - 3 = 0 ---- note que se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:
x' = -3
x'' = 1
vii) Assim, resumindo, temos que as três raízes da equação da sua questão serão estas (colocando-as em ordem crescente):
x' = - 3
x'' = -2 (que foi a que encontramos inicialmente)
x''' = 1
Nota: tivemos que encontrar a raiz inicial (x = - 2) para, a partir dela, encontrarmos as outras duas, e considerando que a sua questão pede apenas o valor das outras duas raízes, então a resposta será:
x' = - 3; e x''' = 1 <--- Esta é a resposta.
Observação: a propósito, note que "-2" é realmente igual à soma de: -3+1 = -2, ou seja, "-2" é realmente igual à soma das outras duas raízes
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
samaralacerda:
muito obrigado , pode mim ajudar nesta questão Qual o valor de a e b para que os polinômios P(x) = (a+b)x+ (a-b) x e Q(x) = 5x2–x sejam idênticos?
Se ela estiver no seu perfil, tentaremos ajudá-la, ok?
Agradecemos à moderadora Camponesa pela aprovação da nossa resposta. Um cordial abraço.
E aí, Samaralacerda, era isso mesmo o que você queria?
Respondido por
0
Bom dia
x^3 + 4x^2+ x .- 6 = 0,
sejam x1,x2,x3 as raízes
soma S = x1 + x2 + x3 = -4
produto P = x1*x2*x3 = 6
x1 = x2 + x3
2x1 = -4
x1 = -2
x2 + x3 = -2
x2*x3 = -6/2 = -3
Quais são as outras raízes
x2 + x3 = -3 + 1
x2*x3 = -3*1
x2 = -3
x3 = 1
x^3 + 4x^2+ x .- 6 = 0,
sejam x1,x2,x3 as raízes
soma S = x1 + x2 + x3 = -4
produto P = x1*x2*x3 = 6
x1 = x2 + x3
2x1 = -4
x1 = -2
x2 + x3 = -2
x2*x3 = -6/2 = -3
Quais são as outras raízes
x2 + x3 = -3 + 1
x2*x3 = -3*1
x2 = -3
x3 = 1
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