Question

Sabe-se que M(2; 1), N(3; 3) e Q(6; 2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são as coordenadas de seus vértices?

Answer 1

$\boxed{\boxed{\boxed{\pink{Ola\´ \: \: Laise}} }}}$

Têm-se os pontos médios :

$\mathtt{M(2,1)} \\ \mathtt{N(3,3)} \\ \mathtt{Q(6,2)}$

Primeiro, calculemos as abcissas dos vértices.

$\begin{cases} \mathtt{\dfrac{x_M + x_N}{2} = 2} \\ \\ \mathtt{\dfrac{x_M + x_Q}{2} = 6} \\ \\ \mathtt{\dfrac{x_N + x_Q}{2} = 3} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{{x_M + x_N} = 2 \cdot 2} \\ \mathtt{{x_M + x_Q} = 2 \cdot 6} \\ \mathtt{{x_N + x_Q} = 2 \cdot 3} \end{cases} \\ \\ \Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{{x_M + x_N} = 4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (i) \\ \mathtt{{x_M + x_Q} = 12} \: \: \: \: \: \: \: \: (ii) \\ \mathtt{{x_N + x_Q} = 6}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (iii) \end{cases}$

Somando a equação (i) com a equação (ii) têm-se:

$\begin{cases} \mathtt{{x_M + x_N} = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: ( - 1)} \\ \mathtt{{x_M + x_Q} = 12} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} \mathtt{{ \cancel{- x_M} - x_N} = - 4 } \\ \mathtt{{ \cancel{x_M} + x_Q} = 12} \end{cases} \\ \Rightarrow \mathtt{x_Q - x_N = 8 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (iv)}$

Somando a equação resultante (iv) com a equação (iii), têm-se:

$\begin{cases} \mathtt{ x_Q - \cancel{x_N} = 8 } \\ \mathtt{{ \cancel{x_N} + x_Q} = 6} \end{cases} \\ \Rightarrow \mathtt{2x_Q = 14} \\ \Leftrightarrow \mathsf{\red{x_Q = 7}}$

• Substituindo $\mathtt{x_Q}$ na equação (iii), obtém-se:

$\Leftrightarrow \mathtt{ x_N + 7 = 6} \\ \Leftrightarrow \mathtt{\red{x_N = -1}}$

• Subistituindo $\mathtt{x_N}$ na equação (i), teremos:

$\Leftrightarrow \mathtt{ x_M - 1 = 4} \\ \Leftrightarrow \mathtt{\red{x_M = 5}}$


Em seguida, calculemos as ordenadas dos vértices.

$\begin{cases} \mathtt{\dfrac{y_M + y_N}{2} = 1} \\ \\ \mathtt{\dfrac{y_M + y_Q}{2} = 2} \\ \\ \mathtt{\dfrac{y_N + y_Q}{2} = 3} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{{y_M + y_N} = 2 \cdot 1} \\ \mathtt{{y_M + y_Q} = 2 \cdot 2} \\ \mathtt{{y_N + y_Q} = 2 \cdot 3} \end{cases} \\ \\ \Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{{y_M + y_N} = 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (i) \\ \mathtt{{y_M + y_Q} = 4} \: \: \: \: \: \: \: \: (ii) \\ \mathtt{{y_N + y_Q} = 6}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (iii) \end{cases}$

Somando a equação (i) com a equação (ii) têm-se:

$\begin{cases} \mathtt{{y_M + y_N} = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: ( - 1)} \\ \mathtt{{y_M + y_Q} = 4} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} \mathtt{{ \cancel{- y_M} - y_N} = - 2 } \\ \mathtt{{ \cancel{y_M} + y_Q} = 4} \end{cases} \\ \Rightarrow \mathtt{y_Q - y_N = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (iv)}$

Somando a equação resultante (iv) com a equação (iii), têm-se:

$\begin{cases} \mathtt{ y_Q - \cancel{y_N} = 2 } \\ \mathtt{{ \cancel{y_N} + y_Q} = 6} \end{cases} \\ \Rightarrow \mathtt{2y_Q = 8} \\ \Leftrightarrow \mathsf{\blue{y_Q = 4}}$

• Substituindo $\mathtt{y_C}$ na equação (iii), obtém-se:

$\Leftrightarrow \mathtt{ y_N + 4 = 6} \\ \Leftrightarrow \mathsf{\blue{y_N = 2}}$

• Subistituindo $y_N$ na equação (i), teremos:

$\Leftrightarrow \mathtt{ y_M + \cancel{2} = \cancel{2}} \\ \Leftrightarrow \mathsf{\blue{y_M = 0} }$

Logo, as coordenadas do vértices são:

$\large{\begin{cases} \mathsf{V_M (\red{5} , \blue{0} )} \\ \\ \mathsf{V_N (\red{-1} , \blue{2})} \\ \\ \mathsf{V_Q ( \red{7}, \blue{4})} \end{cases}}$



Espero ter ajudado bastante!
Ótimos estudos :)