Question

Sabe-se que log3 = 0,477 e que log103 = 2,013. O tempo na qual triplicará uma população que cresce 3% ao ano é de, aproximadamente:
A) 37 anos
B) 47 anos
C) 57 anos
D) 67 anos
E) 77 anos

Answer 1

Resposta:

37 anos

Explicação passo-a-passo:

Seja $x$ a população inicial.

Se essa população cresce 3% ao ano, temos o seguinte esquema:

População inicial - $x$

Após o 1º ano - $1,03x$ (que representa 103% de $x$)

Após o 2º ano - $1,03^2x$ (que representa 103% do valor anterior)

Após o 3º ano - $1,03^3x$ (que representa 103% do valor anterior)

e assim sucessivamente, até o ano em que gostaríamos.

Repare que, num tempo $t$ qualquer, a população é dada por $1,03^tx$

Se $t$ é o ano desejado, pelo enunciado queremos que, neste ano, a população triplique, isto é,

$3x=1,03^tx$

$3=1,03^t$

$log3=log(1,03^t)\\0,477=log((\frac{103}{100})^t)\\\\0,477=t*log((\frac{103}{100}))\\\\0,477=t*(log103-log100)\\\\0,477=t*(2,013-log10^2)\\\\0,477=t*(2,013-2)\\\\0,477=t*0,013\\\\\frac{0,477}{0,013}=t\\\\\frac{477}{13}=t\\\\36,7 \approx t$